算法基础课笔记整理

算法思路

共分两步：

1. 把所有边按边权大小升序排序
2. 遍历每一条边，如果这两条边不在同一个集合里，就将其合并到同一个集合中。

裸题

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V, E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1 \le n \le 10^5$,
$1 \le m \le 2*10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int N = 2e5 + 10;

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

vector<pair<int, PII>> edges;
int n, m, res, cnt;
int p[N];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void kruskal() {
    sort(edges.begin(), edges.end());

    for (int i = 0; i < edges.size(); i ++) {
        int a = find(edges[i].second.first);
        int b = find(edges[i].second.second);
        int w = edges[i].first;

        if (a != b) {
            res += w;
            cnt ++;
            p[a] = b;
        }
    }

    return;
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;

    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges.push_back({w, {a, b}});
    }

    kruskal();

    if (cnt < n - 1) cout << "impossible" << endl;
    else cout << res << endl;

    return 0;
}

cnt的作用：存储生成树中边的数量，一棵完整的最小生成树应该有 $n-1$ 条边，否则则不存在。