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题目背景

在艾泽拉斯大陆上有一位名叫歪嘴哦的神奇术士，他是部落的中坚力量

有一天他醒来后发现自己居然到了联盟的主城暴风城

在被众多联盟的士兵攻击后，他决定逃回自己的家乡奥格瑞玛

题目描述

在艾泽拉斯，有$n$个城市。编号为$1,2,3,\dots,n$。

城市之间有$m$条双向的公路，连接着两个城市，从某个城市到另一个城市，会遭到联盟的攻击，进而损失一定的血量。

每次经过一个城市，都会被收取一定的过路费（包括起点和终点）。路上并没有收费站。

假设$1$为暴风城，$n$为奥格瑞玛，而他的血量最多为$b$，出发时他的血量是满的。

歪嘴哦不希望花很多钱，他想知道，在可以到达奥格瑞玛的情况下，他所经过的所有城市中最多的一次收取的费用的最小值是多少。

输入格式

第一行$3$个正整数，$n$，$m$，$b$。分别表示有$n$个城市，$m$条公路，歪嘴哦的血量为$b$。

接下来有$n$行，每行$1$个正整数，$f_i$。表示经过城市$i$，需要交费$f_i$元。

再接下来有$m$行，每行3个正整数，$a_i$，$b_i$，$c_i$$(1 \le a_i，b_i \le n)$。表示城市$a_i$和城市$b_i$之间有一条公路，如果从城市$a_i$到城市$b_i$，或者从城市$b_i$到城市$a_i$，会损失$c_i$的血量。

输出格式

仅一个整数，表示歪嘴哦交费最多的一次的最小值。

如果他无法到达奥格瑞玛，输出$\text{AFK}$。

输入输出样例

输入 #1

4 4 8
8
5
6
10
2 1 2
2 4 1
1 3 4
3 4 3

输出 #1

10

说明/提示

对于$60%$的数据，满足$n \le 200，m \le 10^4，b \le 200$

对于$100%$的数据，满足$n \le 10^4$，$m \le 5 \times 10^4$，$b \le 10^9$,满足$c_i \le10^9，f_i \le 10^9$，可能有两条边连接着相同的城市。

血量为0的时候,视为可以通过.

解题报告

题意理解

这道题目,让我们满足两个条件.

1. 血量充足,也就是路径消耗要小于血量最大值.

2. 这条路径上经过的点,最大点权最小.

3. 从起点到终点

算法解析

如果说排除,血量因素,这道题目是非常显然的最短路径问题.

但是我们现在多了一个限制条件,那么该如何是好?

我们知道,如果说我们的最终答案是$x_1$,也就是说答案路径上最大点的点权为$x_1$.

现在有一个值$x_2$,表示限制目标答案路径上最大点的点权为$x_2$
$$ 若x_1<x_2,显然x_2这个条件是可以满足的 $$

同理,我们也可以推断出.

$$ 若x_1>x_2,显然x_2这个条件是无法满足的,因为题目的答案是x_1,而不是x_2. $$

综上所述,我们不难得出结论.

这道题目可以,二分最大点权,也就是二分答案

既然如此,我们的判断$check$函数,如何处理呢?

我们可以用最短路算法作为判断.以血量作为权值.

转移,则是满足.这条边抵达的终点$y$,需要满足$y<=mid$

然后这道题目就这样解决了.

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+20,M=5e4+20;
#define int long long//这道题目数据范围有点大,所以为了抱歉,我们选择long long
int n,m,b,f[N],l,r,head[M],edge[M<<1],Next[M<<1],ver[M<<1],tot,vis[N],dis[N];
inline int Spfa(int mid)
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    queue<int> q;
    q.push(1);
    dis[1]=0;
    if (f[1]>mid)//初始点也要判断
        return false;
    while(q.size())
    {
        int now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=false;
        for(int i=head[now]; i; i=Next[i])
        {
            int y=edge[i],w=dis[now]+ver[i];
            if (dis[y]>w && f[y]<=mid)//目标点点权不可以大于限制值
            {
                dis[y]=w;
                if (!vis[y])
                {
                    q.push(y);
                    vis[y]=1;
                }
            }
        }
    }
    return dis[n]<=b;//需要满足血量花费不可以大于最大花费
}
inline void add_edge(int a,int b,int c)
{
    edge[++tot]=b;
    ver[tot]=c;
    Next[tot]=head[a];
    head[a]=tot;
}
inline void init()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&b);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%lld",&f[i]);
        r=max(f[i],r);//最大点权
    }
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        add_edge(a,b,c);
        add_edge(b,a,c);//建立无向图
    }
    while(l<r)//二分
    {
        int mid=l+r>>1;
        if (Spfa(mid))
            r=mid;
        else
            l=mid+1;
    }
    if (!Spfa(r))//无解
        puts("AFK");
    else
        printf("%lld\n",r);
}
signed main()
{
    init();
    return 0;
}