枚举每一列

1.找到该列系数绝对值最大的一行

2.将该行置顶

3.将该行该列的系数变成$1$

4.将下面所有行的该列系数消为$0$

最后至下往上解方程

三种结果:

1.完美阶梯形$=>$唯一解

2.$0=$非零数$=>$无解

3.$0=0$$=>$无穷解

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-8;

int n;
double a[N][N];

int gauss()
{
    int r, c;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++) // 枚举每一列c
    {
        // 找到第c列系数绝对值最大的一行，编号为t
        int t = c;
        for (int i = r; i < n; i ++)
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
        // 如果每一行的第c列系数都为0，那就不需要继续了
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
        // 把第t行置顶
        for (int i = c; i <= n; i ++) swap(a[t][i], a[r][i]);
        // 然后把置顶的行的第c列系数变成1(需要从后往前循环)
        for (int i = n; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
        // 然后把除顶行外的所有行的第c列系数变成0
        for (int i = r + 1; i < n; i ++)
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j --)
                    a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];
        // 顶行已处理完毕，可以继续循环了
        r ++;
    }
    // 如果行数小于n，那么肯定是有 常数 = 0 的方程
    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++) // 如果有 非零数 = 0 的方程说明无解
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2;
        return 1; // 否则都是 0 = 0 的方程，说明有无数多个解
    }
    // 要从下往上依次解方程(为了简便可以只处理等式右边的数)
    for (int i = n - 1; i >= 0; i --)
        for (int j = i + 1; j < n; j ++)
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];

    return 0;
}

int main()
{
    scanf ("%d", &n);

    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++)
            scanf ("%lf", &a[i][j]);

    int t = gauss();

    if (t == 2) puts("No solution");
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else 
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            printf ("%.2lf\n", a[i][n]);
    }

    return 0;
}