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题目概况

题目描述

给你一个$N$个点的有向图,可能有重边.

有两个$GPS$定位系统,分别认为经过边$i$的时间为$P_i$,和$Q_i$.

每走一条边的时候,如果一个系统认为走的这条边不是它认为的最短路,就会受到警告一次.

两个系统是分开警告的,就是说当走的这条边都不在两个系统认为的最短路范围内,就会受到2次警告.

如果边$(u,v)$不在$u$到$n$的最短路径上，这条边就受到一次警告，求从$1$到$n$最少受到多少次警告。

输入格式

第一行,两个整数,$n,m$,表示$n$个点,$m$条边.

接下来有$m$行,每一行四个整数,$a_i,b_i,c_i,d_i$.

表示有一条有向边$(a_i,b_i)$,然后第一个导航认为消耗时间为$c_i$,第二导航认为消耗时间为$d_i$

输出格式

一行整数,输出最少警告数

数据范围

$$ 2 \le N \le 10,000 \\\\1 \le M \le 50,000 \\\\1 \le a_i \le N \\\\1 \le b_i \le N \\\\1 \le c_i,d_i \le 100,000 \\\\ $$

算法解析

题意理解

1. 两个$GPS$,系统为你分别规划了一条最短路径.

2. 一旦你不走其中一个$GPS$认为的最短路径上的边,就会警告你一次.

3. 因此有可能两个$GPS$都警告你.

算法解析

首先,我们要找到两条最短路径.

1. 因此我们需要知道任意节点到$n$号节点的最短路.

2. 所以我们可以建反向图，从$n$号节点出发,分别按照两个GPS跑一次最短路,求出路径.

其次就是统计每条边上警告数量。

1. 我们可以考虑枚举每一条边.

2. 然后针对两个不同的GPS系统

3. 判断其权值是否是这条边两个节点的最短路长度。

4. 如果是表示位于最短路,否则不位于最短路.

最后,统计最少警告数量

1. 根据上面的每条边的警告数量,再来一次最短路.

2. 然后这道题目就解决完了,但是代码是真的一言难尽.

代码解析

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=11000;
struct node
{
    int v,w;
};
vector<node> f[N],g[N],ans[N];
int dis1[N],dis2[N],dis3[N],n,m,vis[N];
void spfa(vector<node> g[N],int d[],int x)//传入存储图的数组,最短路数组,起始点
{
    for(int i=1; i<=n; i++)//记住这里一定不能使用memset,因为会失灵
        d[i]=0x3f3f3f3f;
    memset(vis,0,sizeof(vis));//这里可以memset,是因为是全局变量
    d[x]=0;
    queue<int> q;
    q.push(x);
    while (q.size())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for (int i=0; i<g[x].size(); i++)//访问所有的出边
        {
            int y=g[x][i].v,w=g[x][i].w;
            if (d[y]>d[x]+w)//三角形不等式,然后开始松弛
            {
                d[y]=d[x]+w;
                if (!vis[y])
                {
                    q.push(y);
                    vis[y]=1;
                }
            }
        }
    }
}
inline void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        f[b].push_back({a,c});//这里是反向图建立,第一个导航
        g[b].push_back({a,d});//记得将方向取反,第二个导航
    }
    spfa(f,dis1,n);//分别找到GPS距离
    spfa(g,dis2,n);
    for (int i=1; i<=n; i++)//对于每一个点
        for (int j=0; j<f[i].size(); j++)//这个是针对每一条出边,f,g无所谓
        {
            int u=f[i][j].v,p=f[i][j].w,q=g[i][j].w,r=2;//u是抵达点,p是第一个导航的抵达点,q是第二个导航的抵达点
            if (dis1[u]-dis1[i]==p) r--;//发现是在第一个导航最短路上,然后警告数-1
            if (dis2[u]-dis2[i]==q) r--;//发现是在第二个导航最短路上,然后警告数-1
            ans[u].push_back({i,r});//存储边和权值
        }
    spfa(ans,dis3,1);
    printf("%d\n",dis3[n]);
}
int main()
{
    init();
    return 0;
}