1. 问题描述

N个物品，总体积V的容量，每个物品有两种选择0：不选择该物品; 1:选择该物品

2. 题目描述举例

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

样例

输入样例：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

3. 分析

3.1 暴力求解

直接思考，对于每个物品而言，我们的选择只有两种：
（1）不选择该物品放入背包
（2）选择该物品放入背包
暴力穷举所有的情况，对于每个物品都有选择和不选择两种情况，可以用1位二进制0-1表示选择或者不选择两种情况，时间复杂度O(2^n)

3.2 DP思想(n * m)求解

问题关键点：
（1）对于第i个物品选择，对于后面的物品没有任何影响，即无后效性（复习时思考这一点）
（2）对于每个物品，只有两种选择情况，选择和不选择

对于DP问题，按照yxc的分析思路，我们思考几个问题

1. 状态表示 F[i, j]

(1)集合表示：对于物品的选择构成的选法集合，满足两个条件：（1）所有从前 i 个物品当中选择；（2）选择的总体积小于等于 j
(2)集合属性：一般都是最大值、最小值、或者数量等等。在0-1背包当中属性是最大值，
准确来说是所有从前i个物品当中挑选，总体积小于等于 j的所有可能选法的价值最大值

2. 状态计算

状态计算对应着 集合划分，对于0-1背包问题，可以按照第 i个物品选择和不选择分成两个子集合
(1)对于不选择第 i个物品的子集:
问题就转换成从 [1,2,...i]个物品当中挑选，总体积小于等于 j 的所有可能方案，并且不选择第 i个物品的可能方案，即等价于从 [1,2...i-1]个物品当中挑选，总体积小于等于 j的子集 F[i-1, j];
(2) 对于选择第 i个物品的子集:
问题就转换成从 [1,2....i]个物品当中挑选，总体积小于等于 j的所有可能方案，并且选择第 i个物品的可能方案，即等价于：由于已经选择了第i个物品，那么剩余的 [1,2,...i-1]个物品能够挑选的最大体积变成 j - v[i], 也即等价于子集 F[i-1][j - v[i]] + w[i]

综上：状态计算表达式等于 F[i][j] = max(F[i-1][j], F[i - 1][j - v[i]] + w[i])

C 代码

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define LEN 1010
int N, V;
int v[LEN];
int w[LEN];
int F[LEN];

int main()
{
    scanf("%d%d", &N, &V);

    for(int i = 1; i <= N; i++){
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    }

    //init F[0-N][0-V]

    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(int j = V; j >= v[i]; j--){
            F[j] = fmax(F[j], F[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    printf("%d\n", F[V]);
    return 0;
}