基础课图论复习-最短路
朴素Dijkstra算法 (适合稠密图 用邻接矩阵存图)
时间复杂度 O($n^2 + m$) n表示点数, m表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路,如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中,寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
堆优化Dijkstra算法 (适合稀疏图 用邻接表存图)
时间复杂度 O($n m$) n表示点数, m表示边数
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离,如果不存在,则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离,second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
{
dist[j] = dist[ver] + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
bellman_ford算法 (适合求有边数限制的最短路)
时间复杂度 O($nm$) n表示点数, m表示边数
int n, m; // n表示点数,m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边,a表示出点,b表示入点,w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离,如果无法从1走到n,则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式,就说明存在一条长度是n+1的最短路径,由抽屉原理,路径中至少存在两个相同的点,说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}
spfa算法 (队列优化的Bellman-Ford算法)
时间复杂度 平均 O($m$) 最坏 O($nm$) n表示点数, m表示边数
int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
int spfa() // 求1号点到n号点的最短路距离,如果从1号点无法走到n号点则返回-1
{
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
while(q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if(dist[j] > dist[t] + w[i]) // 如果队列中已存在j,则不需要将j重复插入
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if(!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
spfa判断图中是否存在负环
时间复杂度 O($nm$) n表示点数, m表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离,cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环,则返回true,否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理:如果某条最短路径上有n个点(除了自己),那么加上自己之后一共有n+1个点,由抽屉原理一定有两个点相同,所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点(不包括自己),则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
floyd算法
时间复杂度 O($n^3$) n表示点数
初始化:
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
// 算法结束后,d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
拓扑排序
时间复杂度 O($n + m$) n表示点数 m表示边数
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i; //入度为0的点入队
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0) //删除指向j的一条入边
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了,说明存在拓扑序列;否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}
未完待续 2021.8.9