数学：排列组合

1，分类加法原理
做某件事，有n种方法，每个方法有ai个方案，均可以独立完成该任务，则a1+a2+a3…………an得到所有完成方案

如：从上海到北京，可以做高铁，可以做飞机，可以开高速，可以坐火车
那么从上海到北京的方案总数就是：高铁方案数+飞机方案数+高速方案数+火车方案数

要求：每一类都可以独立完成任务
特点：分成几类，就有几类相加

2，分步乘法原理
做某件事，有n个步骤，每个步骤都有ai个选择，则a1a2a3…………*an得到所有方案总数

如：要DIY一台电脑，选CPU有2种选择，选显卡有2中选择，选主板有6中选择（每一个都必须要，且忽略后面的）

则，得到DIY的方案有226=24种

要求：每一步都是不可或缺的环节
特点：分成几步，就有几步相乘

3.排列（重视顺序）
从n个不同的数中，取出m个数按照顺序排成一列，叫做从n中取出m个数的一个排列

排列三元素：
1，n个不同元素
2，取出任意m个（m<=n）
3，讲究顺序

4，组合（不讲顺序）
从n个不同的数中，取出m个数并为一组，叫做从n中取出m个数的一个组合

组合三元素：
1，n个不同元素
2，取出任意m个（m<=n）
3，不讲顺序

排列和组合的区别和关系：
组合不讲顺序，排列讲究顺序
可以理解为组合是选择的结果
而排列是选择后再排序（任意序）的结果

5，排列数和组合数
A(m,n)意为从n个不同数里面取出m个数的所有排列数
C(m,n)意为从n个不同数里面取出m个数的所有组合数

排列数公式推导；
从n个数里选m个数，第一次有n个选择，第二次，因为已经取出1个，所以有n-1种选择，依此类推，一共有m项相乘
则A(m,n)=n(n-1)(n-2)…………(n-m+1)
=n(n-1)(n-2)…………(n-m+1)(n-m)…………1 / (n-m)……*1
=n!/(n-m)!
得排列数公式：A(m,n)=n!/(n-m)!
而全排列：A(n,n)=n!

组合数公式推导：
从n个数里选m个数组合数，我们只需要先算出从n个数里面取出m个数的排列数，再除以从m个数里面取出m个数的全排列就可以了：
C(m,n)=A(m,n)/A(m,m)=(n!/(n-m)!)/m!= n!/((n-m)!m!)
与此同时，我们知道，取出多少个组成一组，实际上没取到的也是一组，所以：C(m,n)=C(n-m,n)
得：C(m,n)=n!/((n-m)!m!)

例题：0,1,2,3,4,5可以做成多少个没有重复数字的五位奇数

要求：奇数，5位数，潜藏要求：首位不为0

首先，因为奇数，所以最后一位只有为1,3,5
则最后一位情况为C(1,3)

然后，因为首位不为0，考虑第一位，只有为1,2,3,4,5
而又因为最后一位必定要取走其中之一，所以只有4种情况
得第一位情况为：C(1,4)

然后，考虑中间3位，剩下4个任意取，得：A(3,4)

最后按照分步乘法原理，得到：C(1,4)A(3,4)C(1,3)得到288

P.S.为什么要先考虑最后一位？
因为限制条件最苛刻，如果前4位把奇数都取走了，就没得取了，所以优先考虑最后一位

例题：有五种A类物体，4种B类物体，要拿4种，问至少一个A类一个B类的方案有多少？

C(4,9)-C(4,5)-C(4,4)=120
//所有方案-一个B都没有的方案-一个A都没有的方案

Over~未完待续