算法

(贪心) $O(n^2)$

我们先给出做法，再证明其正确性。

做法：直接将所有大臣按左右手上的数的乘积从小到大排序，得到的序列就是最优排队方案。

证明：

我们记第 $i$ 个大臣左手上的数是 $A_i$，右手上的数是 $B_i$。
假设当前的排队方案不是按 $A_i * B_i$ 从小到大排序的，则一定存在某两个相邻的人，满足 $A_i * B_i > A_{i+1} * B_{i+1}$。
我们现在将这两个人的位置互换，然后考虑他们在交换前和交换后所获得的奖励是多少：

• 交换前：第 $i$ 个人是 $\frac{\prod_{j=0}^{i-1}A_j}{B_i}$，第 $i + 1$ 个人是 $\frac{\prod_{j=0}^{i}A_j}{B_{i + 1}}$;
• 交换后：第 $i$ 个人是 $\frac{\prod_{j=0}^{i-1}A_j}{B_{i + 1}}$，第 $i + 1$ 个人是 $\frac{A_{i + 1} * \prod_{j=0}^{i - 1}A_j}{B_i}$;

由于我们接下来只比较这四个数的大小关系，而且所有 $A_i, B_i$ 均大于0，所以可以将每个数除以 $\prod_{j=0}^{i-1}A_j$，然后乘 $B_i * B_{i + 1}$，得到：

由于 $A_i > 0$，所以 $B_i \le A_i * B_i$，并且 $A_i * B_i > A_{i+1} * B_{i+1}$，所以 $max(B_i, A_{i + 1} * B_{i + 1}) \le A_i * B_i \leq max(B_{i + 1}, A_i * B_i)$, 所以交换后两个数的最大值不大于交换前两个数的最大值。
而且交换相邻两个数不会对其他人的奖金产生影响，所以如果存在逆序，则将其交换，得到的结果一定不会比原来更差。

所以从小到大排好序的序列就是最优解，证毕。

时间复杂度

排序的时间复杂度是 $O(nlogn)$。
这道题目的时间复杂度瓶颈在高精度计算上，最坏情况下所有 $A_i = 9999$，则前 $i$ 个数的乘积大约是 $4i$ 位，每次乘一个新的数就需要 $4i$ 的计算量，所以总共的计算量是 $O(4 * \sum_{i = 1}^ni) = O(n^2)$。

C++ 代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010;

int n;
PII p[N];

vector<int> mul(vector<int>a, int b)
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return c;
}

vector<int> div(vector<int>a, int b)
{
    vector<int> c;
    bool is_first = true;
    for (int i = a.size() - 1, t = 0; i >= 0; i -- )
    {
        t = t * 10 + a[i];
        int x = t / b;
        if (!is_first || x)
        {
            is_first = false;
            c.push_back(x);
        }
        t %= b;
    }
    reverse(c.begin(), c.end());
    return c;
}

vector<int> max_vec(vector<int> a, vector<int> b)
{
    if (a.size() > b.size()) return a;
    if (a.size() < b.size()) return b;
    if (vector<int>(a.rbegin(), a.rend()) > vector<int>(b.rbegin(), b.rend())) return a;
    return b;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        p[i] = {a * b, a};
    }
    sort(p + 1, p + n + 1);

    vector<int> product(1, 1);

    vector<int> res(1, 0);
    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
    {
        if (i) res = max_vec(res, div(product, p[i].first / p[i].second));
        product = mul(product, p[i].second);
    }

    for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << res[i];
    cout << endl;

    return 0;
}