什么是前缀和

原数组: a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
前缀和 S[i]为数组的前i项和
前缀和: S[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]

s[0] = 0
s[1] = a[1]
s[2] = a[1] + a[2]
s[i] = a[1] + a[2] + a[3] +……+ a[i] 
s[i] = s[i-1] + a[i]

注意: 原数组的下标一定要从 1开始, 避免进行下标的转换

前缀和的作用

快速求出元素组中某段区间的和

一维数组前缀和

利用S[i]=S[i-1]+a[i]
for循环求出 每个S[i] (将 S[0] 定义为 0, 避免下标的转换)
求[l, r]中的和, 即为 S[r] - S[l-1]

公式

s[i] = s[i-1] + a[i]

例题1

题目链接
输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
````
### 输出样例：
``` java
3
6
10

java代码

import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.Scanner;

public class Main1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        int a[] = new int[n+1];
        int s[] = new int[n+1];

        for(int i= 1;i<=n;i++) a[i] = scanner.nextInt();
        //直接利用公式将前缀和保存在数组`s[n]`里面
        for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i-1] + a[i];

        while(m-->0) {
            int l = scanner.nextInt();
            int r = scanner.nextInt();
            System.out.println(s[r]-s[l-1]);
        }
        scanner.close();
    }
}

二维数组前缀项和

s[i][j]以及(x1,y1),(x2,y2)子矩阵代表的含义如图

公式

s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j]
上图中(x1,y2)(x2,y2)子矩阵部分求和公式为：
s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1]

例题2

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式

共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

java代码

import java.util.Scanner;

public class Main3 {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        int q = scanner.nextInt();
        int[][] a = new int[n + 1][m + 1];
        int[][] s = new int[n + 1][m + 1];

        // 读入原数组数据,注意所以的下标都从1开始
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                a[i][j] = scanner.nextInt();

        // 利用公式一初始化前缀和数组,注意所以的下标都从1开始
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

        while (q-- > 0) {
            int x1 = scanner.nextInt();
            int y1 = scanner.nextInt();
            int x2 = scanner.nextInt();
            int y2 = scanner.nextInt();

            // 利用公式二输出答案
            System.out.println(s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);

        }

        scanner.close();
    }

}