什么是差分

差分是求前缀和的逆操作，对于原数组a[n],构造出一个数组b[n],使a[n]为b[n]的前缀和。一般用于快速对整个数组进行操作，比如对将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c。使用暴力方法的话，时间复杂至少为O(n)，而使用差分算法可以将时间复杂度降低到O(1)。

算法思路

拥有数组b[n]后，想要对a数组中所有的数据加上c,只需要将b[1]+c即可，因为a[i]是b[i]的前缀和，a[i]=b[1]+b[1]+b[3]+……+b[n]。b[1]是所有的a[i]都拥有的子元素,将b[0]+c,那么a[n]中所有的数据都会加上c。如果想将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c，只需要将b[l]+c,然后b[r+1]-c即可。

差分操作和前缀和一样数组下标都从1开始。

b[l]+c后，l后面的数组都会加c。r后面的数据也会被改变，要改回来就得b[r+1]-c

如何构造b[n]

构造b[n]看起来很难，其实根本就不用刻意去构造它。
如果将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c看作一次插入操作，那么构造的过程可以看作是将a进行了n次插入操作。第一次在[1,1]的范围插入了a[1],第二次在[2,2]范围插入a[2]，第二次在[3,3]范围插入a[3]……，以此类推，进行n次插入后，那么数组a就正好是数组b的前缀和了。

例题

原题链接
输入一个长度为n的整数序列。

接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数序列。

接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

java代码

import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int  N = 100010;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        //a为原数组，b为差分数组
        int[] a = new int[N];
        int[] b = new int[N];

        for (int i = 1; i <= n; i++) { 
            a[i] = scanner.nextInt();
        }
        //进行n次插入，初始化差分数组
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            insert(b, i, i, a[i]);          
        }

        while(m-->0) {
            int l,r,c;
            l = scanner.nextInt();
            r = scanner.nextInt();
            c = scanner.nextInt();
            insert(b, l, r, c);
        }
        //经过一系列插入操作后，现在答案数组应该是b数组的前缀和，让b数组变成b的前缀和。
        //公式 b[i] = b[i-1] + b[i] 
        for(int i=1;i<=n;i++)b[i] +=b[i-1];

        for(int i=1;i<=n;i++)System.out.print(b[i]+" ");
        System.out.println();
        scanner.close();
    }

    //插入操作函数
    public static void insert(int[] a,int l,int r,int c) {
        a[l]+=c;
        a[r+1]-=c;
    }
}

二维差分

二维差分思路和一维的思路是一样的。区别在于公式不同而已

例题

题目链接
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

java代码

这次的代码很臃肿，这是因为题目数据规模太大了，所以使用了BufferedReader读入数据和BufferedWriter 输出数据。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;

public class Main2 {

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        //普遍Scanner会超时，所以使用BufferedReader
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter writer = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out)); 
        String[] str1 = reader.readLine().split(" ");

        int n = Integer.parseInt(str1[0]);
        int m = Integer.parseInt(str1[1]);
        int q = Integer.parseInt(str1[2]);
        int N = 1010;
        int[][] a = new int[N][N];
        int[][] b = new int[N][N];

        // 读入原数组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
             String[] str2 = reader.readLine().split(" ");
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                a[i][j] = Integer.parseInt(str2[j-1]);
                // 初始化差分数组
                insert(b, i, j, i, j, a[i][j]);
            }
        }


        while (q-- > 0) {
            String[] str3 = reader.readLine().split(" ");
            int x1 = Integer.parseInt(str3[0]);
            int y1 = Integer.parseInt(str3[1]);
            int x2 = Integer.parseInt(str3[2]);
            int y2 = Integer.parseInt(str3[3]);
            int k  =  Integer.parseInt(str3[4]);
            insert(b, x1, y1, x2, y2, k);
        }

        // 求b数组的前缀和
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1];
                //输出
                writer.write(b[i][j] + " ");
            }
            writer.write("\n");
        }
        //所有write下的内容，会先存在writers中，当启用flush以后，会输出存在其中的内容。如果没有调用flush，则不会将writer中的内容进行输出。
        writer.flush();
        reader.close();
        writer.close();
    }

    // 插入操作函数
    private static void insert(int[][] b, int x1, int y1, int x2, int y2, int k) {
        b[x1][y1] += k;
        b[x2 + 1][y1] -= k;
        b[x1][y2 + 1] -= k;
        b[x2 + 1][y2 + 1] += k;
    }

}