垒骰子

题目描述

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。

经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！

我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。

假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。

atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。

两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。

由于方案数可能过多，请输出模 1e9+7 的结果。

输出格式
共一个数，表示答案模 109+7 的结果。

数据范围
1≤n≤1e9,
1≤m≤36,
1≤a,b≤6
输入样例：

2 1
1 2

输出样例：

544

算法1

(矩阵快速幂) $O(log2n)$

算法描述：在O(log2n)的时间复杂度下求出 矩阵A的n次方

分析此题：f[i][j]表示考虑前i个骰子，且第i个骰子上面是点数j时的方案数，我这里先没有考虑骰子可以转动。

状态转移方程：
f[i][j] = f[i-1][1] + f[i-1][2] +f[i-1][3] + f[i-1][4] + f[i-1][5] + f[i-1][6]
可以放就+，不能放就不+。

设矩阵A是冲突矩阵， A[i][j] = 0 表示当上一个骰子上面点数是i时，下一个骰子上面点数不能是j。
可以得到：
A ^ (n - 1) * [1 1 1 1 1 1] = [ f[n][1] f[n][2] f[n][3] f[n][4] f[n][5] f[n][6] ];（列向量）
所以把A中的36个元素加起来就是不考虑可以旋转答案。
考虑旋转：乘以4的n次幂（这里也使用快速幂）

时间复杂度

参考文献

https://blog.csdn.net/qq_34594236/article/details/53616283

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 10, mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int op[7] = { 0, 4, 5, 6, 1, 2, 3 };//反面 1 - 4, 2 - 5, 3 - 6

LL fast_power(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = res * a % p;
        a = a * (LL)a % p;//注意强制转换为long long
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

//定义一个矩阵结构体
struct Matrix
{
    int row, col;//行数与列数
    LL a[N][N];//这道题目使用long long
    Matrix(int x, int y)
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
        row = x, col = y;
    }
};

// 矩阵乘法 a * b mod p
Matrix mul(const Matrix & a, const Matrix & b, int p)
{
    Matrix ans(a.row, b.col);//答案的行数和a的行数相等，列数与b的列数相等
    for (int i = 1; i <= ans.row; i++)
        for (int j = 1; j <= ans.col; j++)
            for (int k = 1; k <= a.col; k++)
                ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j]) % p;

    return ans;
}

//矩阵的快速幂---a^k mod p
Matrix fast_power(Matrix a, int k, int p)
{
    Matrix ans(a.row, a.col);
    for (int i = 1; i <= a.row; i++) ans.a[i][i] = 1;//初始答案为单位矩阵
    while (k)
    {
        if (k & 1) ans = mul(ans, a, p);
        a = mul(a, a, p);
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    Matrix A(6, 6);
    for (int i = 1; i <= 6; i++)
        for (int j = 1; j <= 6; j++)
            A.a[i][j] = 1;

    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        A.a[op[a]][b] = A.a[op[b]][a] = 0;
    }

    //数据处理 
    Matrix ans = fast_power(A, n - 1, mod);

    LL sum = 0;
    for (int i = 1; i <= 6; i++)
        for (int j = 1; j <= 6; j++)
            sum = (sum + ans.a[i][j]) % mod;

    //结果输出 
    printf("%d\n", (sum * fast_power(4, n, mod)) % mod);

    return 0;
}