题目描述

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

样例

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

算法1

(动态规划) $O(mn)$

状态表示：f[i][j]表示word1前i个字符与word2前j个字符的编辑距离。
状态转移：
1.如果word1的第i个字符与word2的第j个字符相等，那么编辑距离不会增加，仍取决于word1的前i - 1个字符与word2的前j - 1个字符，即$f[i][j] = f[i - 1][j - 1]$;
2.如果word1的第i个字符与word2的第j个字符不相等，有三种选择，修改、删除、插入：

修改：
也就是在word1的前i - 1个字符与word2的前j - 1个字符的编辑距离上又加了1，有$f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1$;

删除：删除word1的第i个字符，那么编辑距离为word1的前i - 1个字符与word2的前j个字符的编辑距离上加了1，有$f[i][j] = f[i - 1][j] + 1$，
同理删除word2的第j个字符，那么编辑距离为word1的前i个字符与word2的前j - 1个字符的编辑距离上又加了1，有$f[i][j] = f[i][j - 1] + 1$；

增加：在计算编辑距离时，增加操作和删除操作其实是完全一样的，例如”exection”与” execution”，可以给”exection”加个’u’，也可以给”execution”减去个’u’，所以转移方程跟删除完全一样。
从增加的角度去理解状态方程，在word2增加一个字符前，编辑距离为$f[i][j-1]$，增加字符后，距离加1，故有$f[i][j] = f[i][j - 1] + 1$，相似的有另一种情况$f[i][j] = f[i - 1][j] + 1$。

时间复杂度

状态数位m $\times$ n个，每一次转移为$O(1)$，故总时间复杂度为$O(mn)$。

参考文献

C++ 代码

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size(), n = word2.size();
        int f[m + 1][n + 1]; memset(f, 0, sizeof f);

        for (int j = 0; j <= n; ++j) f[0][j] = j;
        for (int i = 0; i <= m; ++i) f[i][0] = i;

        for (int i = 1; i <= m; ++i){
            for (int j = 1; j <= n; ++j){
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]){
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    f[i][j] = 1 + min(f[i - 1][j - 1], min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]));
                }
            }
        }

        return f[m][n];
    }
};

算法2

(动态规划 滚动数组优化版本) $O(mn)$

算法同上，只是实现上使用滚动数组优化了空间。

时间复杂度

时间复杂度同算法1，空间复杂度是$O(min(m, n))$

参考文献

C++ 代码

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size(), n = word2.size();
        if (m < n) return minDistance (word2, word1);

        int f[n + 1]; memset(f, 0, sizeof f);        
        for (int j = 0; j <= n; ++j) f[j] = j;

        for (int i = 1; i <= m; ++i){
            int pre = i - 1; f[0] = i;
            for (int j = 1; j <= n; ++j){
                int tmp = f[j];
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) f[j] = pre;
                else f[j] = 1 + min(pre, min(f[j], f[j - 1]));
                pre = tmp;
            }
        }
        return f[n];
    }
};