鄙人不才，此中鄙陋甚多，望海涵！

题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列A和B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列A和B的长度均不超过3000。

输入格式
第一行包含一个整数N，表示数列A，B的长度。

第二行包含N个整数，表示数列A。

第三行包含N个整数，表示数列B。

输出格式
输出一个整数，表示最长公共子序列的长度。

数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过231−1

样例

输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2

该题目是要求求最长公共上升子序列，不难推测到这道题目的状态表示应该是最长上升子序列和最长公共子序列的结合，想到最长上升子序列的状态表示是以某个元素结尾的上升子序列的长度，最长公共子序列状态表示是以第一个序列的前i个元素和第二个序列的前j个元素的公共子序列的长度，二者结合之后最长上升公共子序列f[i][j]的状态表示就为第一个序列的前i个字母和第二个序

列前j个字母,并且以j结尾（要想求上升的子序列就必须明确规定结尾）的公共上升子序列的长度

算法1（这个不能ac，却是最基本的模型）

三重二维LICS

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=3010;

int a[N],b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)   
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(a[i]==b[j])
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],1);
                for(int k=1;k<j;k++)
                    if(b[k]<b[j])
                        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1);
            }
        }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(f[n][i],res);
    cout<< res <<endl;
    return 0;
}

接下来就是对上面的代码进行优化，变为二维，大大节省时间

引用上面算法1的代码

if(a[i]==b[j])
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],1);
                for(int k=1;k<j;k++)
                    if(b[k]<b[j])
                        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1);
            }

我们发现只有当a[i]==b[j]的时候，f[i][j]才会被更新,而(b[k]<b[j])可以替换为（b[k]<a[i])

观察k循环这一层，其实就是处理了一个f[i][j]前缀的问题，真正被用到的也只有那个最大的f[i][j]而已，所以我们可以用一个变量来存储这个前缀并在符合条件（b[k]<a[i])的时候更新即可，这样就优化为二重二维了。

算法2

二重二维LICS

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=3010;

int f[N][N],a[N],b[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);

    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int maxv=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
            if(a[i]>b[j]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[n][i]);
    cout<< res <<endl;
    return 0;
}

注意这行代码 if(a[i]>b[j]) maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1); 虽然写成f[i][j]+1 也能ac（虽然我也不知道为什么，但应该和这个代码的上一行有关系，应该是当a[i]==b[j]的时候f[i][j]才会被更新，而当f[i][j]被更新之后，maxv才会可能变大吧），但这样绝对是有问题的，严格来说状态只能来源于上一层。

这样我们就不难发现，f[i][j]的状态都是源于上一层的，所以可以去掉第一维做个等价变形.

算法3

二重一维LICS

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=3010;

int a[N],b[N];
int f[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        int maxv=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(a[i]==b[j])    f[j]=max(f[j],maxv);
            if(b[j]<a[i])     maxv=max(maxv,f[j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(f[i],res);
    cout<< res <<endl;
    return 0;
}