题目描述

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 days 的数组给出。每一项是一个从 1 到 365 的整数。

火车票有三种不同的销售方式：

一张为期一天的通行证售价为 costs[0] 美元；
一张为期七天的通行证售价为 costs[1] 美元；
一张为期三十天的通行证售价为 costs[2] 美元。
通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

返回你想要完成在给定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

样例

输入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出：11
解释： 
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。

输入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
输出：17
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。 
你总共花了 $17，并完成了你计划的每一天旅行。

算法1

(动态规划) $O(30 * n)$

状态表示：
$f[i]$代表完成前i个旅游日的旅行后，所有支付方案的集合；
属性为最小值。

状态转移：
$f[i] = min(f[i], f[j - 1] + cost)$
j的含义是，完成前i个旅游日的旅行时，最后一次买票，是在第j个旅游日;
枚举j求最小值；
要注意，j必须在没过期的窗口里，比如最后一次在第j个旅游日购买了为期7天的票，那days[j]和days[i]相差不能超过6天；
转移方程的解释：在第j个旅游日买了票，那么买票前花销就是f[j - 1],加上这次的花销即可，求的是最小值，所以集合内取min。

时间复杂度

对于每一个需要旅行的日子，只需要探索它前面30天的窗口即可。

参考文献

https://www.acwing.com/solution/LeetCode/content/877/

C++ 代码

class Solution {
public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs) {
        int n = days.size();
        int f[n + 1]; memset(f, 0x3f3f3f3f,sizeof f); f[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= n; ++i){
             // 完成前i个旅游日时，最近的一次购票为第j个旅游日
            for (int j = i; j >= 1; --j){
                // 在第j个旅游日买了票，那么买票前花销就是f[j - 1],加上这次的花销即可
                if (days[i - 1] - days[j - 1] < 1) f[i] = min(f[i], f[j - 1] + costs[0]);
                if (days[i - 1] - days[j - 1] < 7) f[i] = min(f[i], f[j - 1] + costs[1]);
                if (days[i - 1] - days[j - 1] < 30) f[i] = min(f[i], f[j - 1] + costs[2]);
                if (days[i - 1] - days[j - 1] >= 30) break;
            }
        }

        return f[n];
    }
};

算法2

(单调队列?) $O(n)$

维护队列s，使得s队列的首元素，为最后一次所购票为7天票的最佳方案，在第day天购买了7天票，总共花销cost；
维护队列t，使得t队列的首元素，为最后一次所购票为30天票的最佳方案，在第day天购买了30天票，总共花销cost。

时间复杂度

参考文献

https://leetcode.com/problems/minimum-cost-for-tickets/discuss/226659/Two-DP-solutions-with-pictures

C++ 代码

class Solution {
public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs) {
        // 存入购票日和当前花销{day, cost}
        queue<pair<int, int>> s, t;

        int res = 0;
        for (int d: days){
            // 如果购票日距离当前旅游日太远，舍弃
            while (!s.empty() && s.front().first + 7 <= d) s.pop();
            while (!t.empty() && t.front().first + 30 <= d) t.pop();
            // 购买7天票，30天票并计入队列
            s.push({d, res + costs[1]});
            t.push({d, res + costs[2]});
            // 求完成当前旅游日的最小开销
            res = min(res + costs[0], min(s.front().second, t.front().second));
        }

        return res;
    }
};