题目描述

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

样例

输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]

输出：6

解释：
上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，
在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。 

输入：height = [4,2,0,3,2,5]

输出：9

限制

• n == height.length
• 0 <= n <= 3 * 10^4
• 0 <= height[i] <= 10^5

算法1

(三次线性扫描) $O(n)$

1. 观察整个图形，考虑对水的面积按 列 进行拆解
2. 注意到，每个矩形条上方所能接受的水的高度，是由它左边 最高的 矩形，和右边 最高的 矩形决定的。具体地，假设第 i 个矩形条的高度为 height[i]，且矩形条左边 最高的 矩形条的高度为 left_max[i]，右边 最高的 矩形条高度为 right_max[i]，则该矩形条上方能接受水的高度为 min(left_max[i], right_max[i]) - height[i]。
3. 需要分别从左向右扫描求 left_max，从右向左求 right_max，最后统计答案即可。
4. 注意特判 n 为 0。

时间复杂度

• 三次线性扫描，故只需要 $O(n)$ 的时间。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n)$ 的空间记录每个位置左边最高的高度和右边最高的高度。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        int n = height.size(), ans = 0;
        if (n == 0)
            return 0;

        vector<int> left_max(n), right_max(n);

        left_max[0] = height[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            left_max[i] = max(left_max[i - 1], height[i]);

        right_max[n - 1] = height[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
            right_max[i] = max(right_max[i + 1], height[i]);

        for (int i = 0; i < n; i++)
            ans += min(left_max[i], right_max[i]) - height[i];

        return ans;
    }
};

算法2

(单调栈) $O(n)$

1. 换一种思路，考虑每个位置左边和右边 第一个 比自身不低的矩形条，以及三个矩形条构成的 U 型，相当于对水的面积按 行 进行拆解。
2. 维护严格单调递减的单调栈。在每次检查栈顶要出栈时，i 为右边第一个比 st.top() 不低的矩形，st.top() 弹出栈顶，并将其记为 top。
3. 假设此时栈中仍然存在矩形，现在 st.top()（弹栈后的栈顶）、top 与 i 三个位置构成一个 U 型，其中 top 位置代表 U 型的底部，此时可以计算出该 U 型所能接受的水的面积为 (i - st.top() - 1) * (min(height[st.top()], height[i]) - height[top])。
4. 最后当前矩形进栈。

时间复杂度

• 每个元素最多进栈一次出栈一次，故只需要 $O(n)$ 的时间。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n)$ 的空间存储单调栈。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        int n = height.size(), ans = 0;
        stack<int> st;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!st.empty() && height[st.top()] <= height[i]) {
                int top = st.top();
                st.pop();
                if (st.empty()) break;
                ans += (i - st.top() - 1) 
                        * (min(height[st.top()], height[i]) - height[top]);
            }
            st.push(i);
        }
        return ans;
    }
};