题目描述

给你两个数组 nums1 和 nums2。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

样例

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6]。
它们的点积为 (23 + (-2)(-6)) = 18。

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7]。
它们的点积为 (3*7) = 21。

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1]。
它们的点积为 -1。

限制

• 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
• 1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 1000

算法

(动态规划) $O(n * m)$

闫式分析

• 状态表示 f(i, j)

  • 集合 ：只考虑A[1 ~ i] 和 B[1 ~ j] 所有选择子序列的方案的集合

    A以下标 i 为结尾，且B以下标 j为结尾时点积的最大值。假设数组的有效下标从 1 开始。

  • 属性 ： 点积的最大值

• 状态计算

  • A[i] 不选 ， B[j] 不选 -> f(i - 1, j - 1)
  • A[i] 选 ， B[j] 不选 -> 包含在这种状态中 :f(i, j - 1)
  • A[i] 不选 ， B[j] 选 -> 包含在这种状态中 :f(i-1, j)
  • A[i] 选 ， B[j] 选 -> f(i - 1 ,j - 1) + A[i] * B[i]

    注意 ： 状态 f(i, j - 1)和 f(i - 1, j)都包含了f(i - 1, j - 1)，所以f(i - 1, j - 1)不用计算

其他细节

• 状态的初始化

• 边界 ： 集合非空的判断

  最后一个转移必然至少选择一个数，所以在这个状态下取最大值即可
  如果没有非空的限制，返回dp[n][m]即可

复杂度

• 时间 ： $O(n * m)$
• 空间 ： $O(n * m)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size(), m = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, -0x3f3f3f3f)); 
        //初始化dp
        for(int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 0;
        for(int i = 0; i <= m; i++) dp[0][i] = 0;

        int res = INT_MIN;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= m; j++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                int t = dp[i - 1][j - 1] + nums1[i - 1] * nums2[j -1];
                dp[i][j] = max(dp[i][j], t);
                res = max(res, t); // 和最后一种情况取最大值，保证集合是非空的  如果没有非空要求，返回dp[n][m]即可
            }

        return res;
    }
};