题目描述

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。

皇宫各个宫殿的分布，呈一棵树的形状，宫殿可视为树中结点，两个宫殿之间如果存在道路直接相连，则该道路视为树中的一条边。

已知，在一个宫殿镇守的守卫不仅能够观察到本宫殿的状况，还能观察到与该宫殿直接存在道路相连的其他宫殿的状况。

大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。

可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。

帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。

输入格式

输入中数据描述一棵树，描述如下：

第一行 n，表示树中结点的数目。

第二行至第 n+1 行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号 i，在该宫殿安置侍卫所需的经费 k，该结点的子结点数 m，接下来 m 个数，分别是这个结点的 m 个子结点的标号 r1,r2,…,rm。

对于一个 n 个结点的树，结点标号在 1 到 n 之间，且标号不重复。

输出格式

输出一个整数，表示最少的经费。

数据范围

1≤n≤1500

样例

6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0

算法1

(树形DP+状态机) $O(n)$

首先这道题的题意是：给定一棵树，要在一些节点上放置守卫，每个守卫可以看护当前节点以及与此节点连通的节点，在不同节点放置守卫的代价不同，如何选取节点使代价最小，这是个典型的树形DP问题，显然每个节点有放置守卫和不放置守卫两种，但是从计算的过程看，不放置守卫的状态由两种，一种是有其父节点上的守卫看护，一种是由其子节点的守卫看护，因此可将每个节点的看护情况分为三种：

1. 该节点由父节点处放置的守卫看护
2. 该节点由子节点处放置的守护看护
3. 该节点由在该节点放置的守卫看护

下面考虑状态转移的过程，建立数组f[i][3]，其中

1. f[i][0]表示第i个节点由父节点处放置的守卫看护下的最小代价
2. f[i][1]表示第i个节点由子节点处放置的守卫看护下的最小代价
3. f[i][2]表示第i个节点由在该节点放置的守卫看护下的最小代价

那么可以写出转移关系：

1. f[i][0] += min(f[j][1], f[j][2]);
2. f[i][1] = min(f[i][1], sum - min(f[j][1], f[j][2]) + f[j][2]);
3. f[i][2] += min(min(f[j][0], f[j][1]), f[j][2]);

其中j为i的子节点，sum为所有子节点j的min(f[j][1],f[j][2])的和，1和3的意义很明显，2的意义代表，如果第i个节点由子节点守卫，那么所有子节点都不能由父节点守卫，并且每个子节点都得到了守卫，且至少有一个子节点处放置了守卫

至此，算法思路就很清晰了，下面就用常规求解过程来写代码

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;


const int N = 1510;

int n;
int h[N], e[N], ne[N], idx,w[N];
int f[N][3];
bool st[N];


void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

void dfs(int u)
{
    f[u][2] = w[u];

    int sum = 0;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        dfs(j);
        f[u][0] += min(f[j][1], f[j][2]);
        f[u][2] += min(min(f[j][0], f[j][1]), f[j][2]);
        sum += min(f[j][1], f[j][2]);
    }

    f[u][1] = 1e9;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        f[u][1] = min(f[u][1], sum - min(f[j][1], f[j][2]) + f[j][2]);
    }
}


int main()
{
    cin >> n;

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int id, cost, cnt;
        cin >> id >> cost >> cnt;
        w[id] = cost;
        while (cnt -- )
        {
            int ver;
            cin >> ver;
            add(id, ver);
            st[ver] = true;
        }
    }

    int root = 1;
    while (st[root]) root ++ ;

    dfs(root);

    cout << min(f[root][1], f[root][2]) << endl;

    return 0;
}