题目描述

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

样例

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

算法1

(DFS暴力搜索) $O(n!)$

遍历每一行，并记录哪些列、哪些对角线已经被占据；
能填完$n$行的，就记录一下答案。

时间复杂度

只考虑列的互相约束，时间复杂度上界为$n!$，实际运算还会考虑对角线约束，复杂度会更低。

参考文献

C++ 代码

class Solution {
private:
    vector<int> path;
    vector<vector<string>> res;
    vector<int> col, diag_s, diag_m;
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        if (n <= 0) return {};
        col = vector<int>(n);
        diag_s = vector<int>(2 * n - 1);
        diag_m = vector<int>(2 * n - 1);
        dfs(0, n);
        return res;
    }

    void dfs(int r, const int &n){
        if (r >= n){
            vector<string> tmp(n, string(n,'.'));
            for (int r = 0; r < n; ++r){
                tmp[r][path[r]] = 'Q';
            }
            res.push_back(tmp);
            return;
        }

        for (int c = 0; c < n; ++c){
            if (!col[c] && !diag_s[r + c] && !diag_m[r - c + n - 1]){
                col[c] = diag_s[r + c] = diag_m[r - c + n - 1] = true;
                path.push_back(c);
                dfs(r + 1, n);
                path.pop_back();
                col[c] = diag_s[r + c] = diag_m[r - c + n - 1] = false;
            }
        }
    }
};