最小路径覆盖：针对一个有向无环图(DAG),用最少条互不相交路径，覆盖所有点。（其中互不相交是指点不重复）

结论：最小路径点覆盖（最小路径覆盖） = 总点数 - 最大匹配

证明：
1.建图
求最小路径覆盖用到拆点，一个点分成两个点，分别表示出点和入点，
那么从点i->j的一条边就用，从左边的出点i连到右边的入点j’表示，
于是得到的图是一个二分图，因为所有的边都是在左部和右部之间的，内部没有点。

2.转化
此时将原图中的每一条路径转化到新图中，因为原图中的路径互不相交，所以每一个点最多只有一个出度和入度，
这就意味着在新图中，左部每一个点最多只会向右部连一条边，右部的点最多只会有一条边连入，每个点最多只会属于一条边。
①原图中的一条路径<=>新图中的一组匹配（新图中每一个点最多只会属于一条边）
②原图中每一条路径的终点（没有出边）<=>新图左部的非匹配点

3.推导
求原图中互不相交路径数<=>求路径终点数最少<=>求左部非匹配点最少<=>求最大匹配

拓展：
最小路径重复点覆盖：在最小路径覆盖问题的基础上，去掉互不相交。

结论：记原图G，求传递闭包后的图G’，则G的最小路径重复点覆盖=G’的最小路径覆盖

在该题中，记最小路径重复点覆盖数为cnt，该题的答案就是cnt
证明：
①k<=cnt
这cnt条路径覆盖了所有的点，所以所求的k个点一定要从这cnt条路径中的点选，
并且每条路径上最多选一个点，所以k<=cnt
②k>=cnt
构造：将cnt条路径的终点都放到一个集合E中，记next(E)返回的是从E中的每个点出发能到的所有点的集合
分类讨论：
i)E ∩ next(E) = Ø ，此时E内的点不能相互到达，说明E中所有的点就是一种k=cnt的方案
ii)E ∩ next(E) ≠ Ø ， 对于E中的任何一个点p，让这个点反向走，直到这个点走到一个不在next(E-p)中的点，可证当这个点走到起点时肯定不在next(E-p)中。
反证法：如果这个点走到起点，仍在next(E-p)中，说明p所在的路径的起点可以被其他路径到达，那么这条路径就没有存在的意义可以省去，不满足最小路径重复点覆盖。
所以此时同样可以在每一条路径中选出一个点，使得这些点之间两两不可到达，即k=cnt

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 210 , M = 30010;

bool d[N][N];
bool st[N];
int n , m;
int match[N];

bool find(int x)
{
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        if(d[x][i] && !st[i])
        {
            st[i] = true;
            if(!match[i] || find(match[i]))
            {
                match[i] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    while(m--)
    {
        int a , b;
        cin >> a >> b;
        d[a][b] = true;
    }

    for(int k = 1 ; k <= n ; k++)//求传递闭包
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
            for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
                d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];

    int res = 0;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        memset(st , 0 , sizeof st);
        if(find(i)) res++;
    }

    cout << n - res << endl;
    return 0;
}