题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

样例

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

算法

(动态规划) $O(n^2)$

$f[i][j]$表示从起点到(i,j)的所有路径，求最多有多少条路径；
机器人只能向下或向右走，所以路径数等于上面的格子加上左边的格子。

时间复杂度

时间复杂度为$O(n^2)$,空间复杂度为$O(n^2)$,可以用滚动数组优化为一维空间，$O(n)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n, 1));  // 第一行或第一列所有的路径为1
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++)
                f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];  // 从上边走的路径和从左边走的路径之和
        return f[m-1][n-1];  // 所有路径和
    }
};

一维DP优化：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> f(n, 1);  // 第一行或第一列所有的路径为1
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++)
                f[j] = f[j] + f[j-1];  // 从上边走的路径和从左边走的路径之和
        return f[n-1];  // 所有路径和
    }
};