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2174. 费用流
给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图,并给定每条边的容量和费用,边的容量非负。
图中可能存在重边和自环,保证费用不会存在负环。
求从 $S$ 到 $T$ 的最大流,以及在流量最大时的最小费用。
输入格式
第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。
接下来 $m$ 行,每行三个整数 $u,v,c,w$,表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边,容量为 $c$,费用为 $w$。
点的编号从 $1$ 到 $n$。
输出格式
输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流和流量最大时的最小费用。
如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 0 0
。
数据范围
$2≤n≤5000$,
$1≤m≤50000$,
$0≤c≤100$,
$-100 \le w \le 100$
$S≠T$
输入样例:
5 5 1 5
1 4 10 5
4 5 5 10
4 2 12 5
2 5 10 15
1 5 10 10
输出样例:
20 300
解题思路
费用流
引入费用流时流网络中的边不止有流量的概念,还得有费用的概念
费用流即最小/大费用最大流(即最大可行流中的最小/大费用)的简称
费用流:$最大流时每条边上的可行流\times 该边上的费用$
EK 算法改进的费用流算法比较常见,这里主要讨论这个改进后的算法
主要是将 EK 算法中的 bfs
改为 spfa
,spfa
用来求解源点 $s$ 到 $t$ 的最短/长路(即 $s$ 到 $t$ 上的最小路径费用和)在求最短/长路的同时找到一条增广路径,然后增加这部分的费用,直到找不到增广路径为止,$\color{red}{为什么这样可以求解费用流}$,假设对于当前可行流 $f_1$,$f_1$ 是费用最小的,假设在 $f_1$ 的残余网络中经过 spfa
找到一条增广路径,即可行流 $f_2$,则可知 $f=f_1+f_2$ 仍是一个可行流,假设此时 $f$ 虽然是当前为止费用并非最小的可行流,即有这样一个可行流 $f’=f_1+f_2’$,其中 $|f|=|f’|$,但是 $f’$ 的费用要比 $f$ 小,注意,此时有 $|f_2|=|f_2’|$,设 $cost(f)$ 为 $f$ 这个可行流的费用,则 $cost(f’)=cost(f_1)+cost(f_2’)=cost(f_1)+|f_2’|\times dist(f_2’))<cost(f)=cost(f_1)+cost(f_2)=cost(f_1)+|f_2|\times dist(f_2)$,则有 $dist(f_2’)<dist(f_2)$,由于 $dist(f_2)$ 已经是最短路了,故假设不成立,故这种方法正确
设最大流为 $f$,$k$ 为 spfa
算法的常数,则:
- 时间复杂度:$O(kmf)$
类似的,也有 dinic 算法的改进版
- 时间复杂度:$O(kmf)$
代码
- EK 算法改进
// Problem: 费用流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2176/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 5000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5005,M=100005,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],w[M],e[M],idx;
int incf[N],d[N],q[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
int hh=0,tt=1;
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(incf,0,sizeof incf);
q[0]=S,d[S]=0,incf[S]=inf;
while(hh!=tt)
{
int x=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[x]=false;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
{
d[y]=d[x]+w[i];
pre[y]=i;
incf[y]=min(incf[x],f[i]);
if(!st[y])
{
q[tt++]=y;
if(tt==N)tt=0;
st[y]=true;
}
}
}
}
return incf[T]>0;
}
void EK(int &flow,int &cost)
{
flow=cost=0;
while(spfa())
{
int t=incf[T];
flow+=t,cost+=t*d[T];
for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])
{
f[pre[i]]-=t;
f[pre[i]^1]+=t;
}
}
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
add(a,b,c,d);
}
int flow,cost;
EK(flow,cost);
printf("%d %d",flow,cost);
return 0;
}
- dinic 算法改进
// Problem: 费用流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2176/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 5000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5005,M=100005,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],w[M],e[M],idx;
int incf[N],d[N],q[N],cur[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
for(int i=1;i<=n;i++)cur[i]=h[i],d[i]=inf,incf[i]=0;
d[S]=0,incf[S]=inf;
q[0]=S;
int hh=0,tt=1;
while(hh!=tt)
{
int x=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[x]=false;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
{
d[y]=d[x]+w[i];
incf[y]=min(incf[x],f[i]);
if(!st[y])
{
q[tt++]=y;
if(tt==N)tt=0;
st[y]=true;
}
}
}
}
return incf[T]>0;
}
int dfs(int x,int limit,int &cost)
{
if(x==T)
{
cost+=d[T]*limit;
return limit;
}
st[x]=true;
int flow=0;
for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]==d[x]+w[i]&&f[i]&&!st[y])
{
int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow),cost);
if(!t)d[y]=inf;
f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
}
}
st[x]=false;
return flow;
}
void dinic(int &max_flow,int &cost)
{
max_flow=cost=0;
int flow=0;
while(spfa())while(flow=dfs(S,inf,cost))max_flow+=flow;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
add(a,b,c,d);
}
int flow,cost;
dinic(flow,cost);
printf("%d %d",flow,cost);
return 0;
}