C++ 代码

/*
A*算法

做法：
引入一个估值函数，用来估计某个点到达终点的距离。
记f是估值函数，g是真实值，那么f(state) <= g(state)，越接近越好（当估值是0时，类似于Dijkstra算法）
记dist是从起点到state状态的步数；
利用的是优先队列，排序依据是dist[state] + f(state)


证明：
    反证法：
    假设终点第一次出堆时不是最小值，那么意味着dist[end] > dist优
    那么说明堆中存在一个最优路径中的某个点（起码起点在路径上），记该点为u，
    dist优 = dist[u] + g(u) >= dist[u] + f(u)
    -> dist[end] > dist优 >= dist[u] + f(u),说明优先队列中存在一个比出堆元素更小的值，这就矛盾了。
    所以说终点第一次出堆时就是最优的。

应用的环境：
    1、有解（无解时，仍然会把所有空间搜索，会比一般的bfs慢，因为优先队列的操作是logn的）
    2、边权非负，如果是负数，那么终点的估值有可能是负无穷，终点可能会直接出堆

性质：
    除了终点以外的其他点无法在出堆或者如堆的时候确定距离，只能保证终点出堆时是最优的可以。

*/

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>


using namespace std;

typedef pair<int , string> PIS;

unordered_map<string , int> dist;
unordered_map<string , pair<string , char>> pre;
priority_queue<PIS , vector<PIS> , greater<PIS>> heap;
string ed = "12345678x";
int dx[4] = {-1 , 0 , 1 , 0} , dy[4] = {0 , 1 , 0 , -1};
char op[] = "urdl";

int f(string state)//求估值函数,这里是曼哈顿距离
{
    int res = 0;
    for(int i = 0 ; i < 9 ; i++)
    {
        if(state[i] != 'x')
        {
            int t = state[i] - '1';
            res += abs(t / 3 - i / 3) + abs(t % 3 - i % 3);
        }
    }
    return res;
}

string bfs(string start)
{
    heap.push({f(start) , start});
    dist[start] = 0;

    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        string state = t.second;
        int step = dist[state];//记录到达state的实际距离
        if(state == ed) break;//如果到达终点就break

        int k = state.find('x');
        int x = k / 3 , y = k % 3;

        string source = state;//因为在下面state会变，所以留一个备份
        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3)
            {
                swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);
                if (!dist.count(state) || dist[state] > step + 1)
                {
                    dist[state] = step + 1;
                    pre[state] = {source, op[i]};
                    heap.push({dist[state] + f(state), state});
                }
                swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);//因为要多次交换，所以要恢复现场
            }
        }

    }

    string res;
    while(ed != start)
    {
        res += pre[ed].second;
        ed = pre[ed].first;
    }
    reverse(res.begin() , res.end());
    return res;
}

int main()
{
    string start , seq;
    for(int i = 0 ; i < 9 ; i++)
    {
        char c;
        cin >> c;
        start += c;
        if(c != 'x') seq += c;
    }

    int cnt = 0;
    for(int i = 0 ; i < 8 ; i ++)
        for(int j = i + 1 ; j < 8 ; j++)
            if(seq[i] > seq[j])
                cnt++;

    if(cnt % 2) puts("unsolvable");
    else cout << bfs(start) << endl;

    return 0;
}