算法1

(动态规划) $O(n^2)$

dp[i][j] 代表走到（i，j）这个位置的最大价值
由于只能向下向右走，所以（i，j）这个位置只能从左边和上边过来，所以dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j],即从左边和上边这两个位置选一个较大的加上本位置的价值，即可。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int getMaxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        if (grid.empty()) return 0;
        int m = grid.size();
        int n  = grid[0].size();
        int dp[m+1][n+1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i];
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }

        for (int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j] = (dp[i-1][j] > dp[i][j-1]?dp[i-1][j]:dp[i][j-1]) + grid[i][j];

            }
        }
        // cout<<dp[1][0]<<dp[2][0];
        return dp[m-1][n-1];
    }
};