题目描述

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

样例

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

算法1

(动态规划) $O(n^2)$

对于$n$个节点的BST，除去根节点有$n - 1$个节点，将这$n - 1$个节点分配在根节点的两侧，即可构造出所有的方案。
递推公式即为： $f[n] = f[0] * f[n - 1] + f[1] * f[n - 2] + … + f[n - 1] * f[0]$

时间复杂度

$O(n)$个状态，每次状态计算需要$O(n)$时间，故$O(n^2)$

参考文献

C++ 代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n <= 0) return 0;

        vector<int> f(n + 1);
        f[0] = 1; f[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i){
            for (int j = 0; j <= i - 1; ++j){
                f[i] += f[j] * f[i - 1 - j];
            }
        }

        return f[n];
    }
};

算法2

(组合数) $O(n)$

其实这道题是求卡特兰数，所以直接按照卡特兰数公式即可。

时间复杂度

见代码，很容易看出是$O(n)$。

参考文献

C++ 代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n <= 0) return 0;

        long long res = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i){
            res = res * (i + n) / i ;
        }

        return res / (n + 1);
    }
};