题目描述

N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

算法1 暴力解决

java 代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();

        int[] v = new int[N + 1];
        int[] w = new int[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        sc.close();

        int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j <= V; j++) {
                for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]));
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[N][V]);
    }

}

算法2

公式推导优化

JAVA 代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();

        int[] v = new int[N + 1];
        int[] w = new int[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        sc.close();

        /**
         * 根据公式递推 可以得到一个
         *
         * f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
         * f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-2*v]+2*w , .....)
         * 由上两式，可得出如下递推关系：
         *                         f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])
         */
        int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j <= V; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= v[i]) dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }

        System.out.println(dp[N][V]);
    }
}

空间优化到一维

JAVA 代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();

        int[] v = new int[N + 1];
        int[] w = new int[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        sc.close();

        /**
         *  优化空间之后的写法
         *
         *  for (int i = 1; i <= N; i++) {
         *      for (int j = 1; j <= V; j++) {
         *          dp[j] = dp[j]; //等价于  dp[i][j] = dp[i - 1][j];
         *          if (j >= v[i]) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
         *          // 等价于 dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
         *       }
         *  }
         */
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }

        System.out.println(dp[V]);
    }
}