差分数组

关系：b[N]是a[N]的差分数组，a[N]是b[N]的前缀和数组。

$$ a_n = \sum_{i=1}^{n} b_i $$
$$ b_1 = a_1 $$
$$ b_2 = a_2 - a_1 $$
$$ b_3 = a_3 - a_2 $$
$$\dots$$
$$ b_n = a_n - a_{ n-1} $$

定义$f$为前缀和运算，则$a = f(b)$，$b = f^{-1}(a)$。求差分为求前缀和的逆运算。

求差分数组的作用在于便捷地得到一段区间[l,r]内的数全部加上c的结果，由于b[N]是a[N]的差分数组，在由b[N]反求a[N]时，只需要进过简单的前缀运算就可以，若b[l] +=c，则求解的a[N]数组在[l,n]区间内全部都会加上c，

差分数组的难点在于维护，而不在于构造。核心算法在于insert函数，首先假设a[N]全是0，则b[N]也必然全是0，将a[i]通过insert(i,i,a[i])调用插入到b[N]中，就可以构造差分数组。

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r+1] -= c;
}

完整代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N], b[N];
int l, r, n, m, c;

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r+1] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) insert(i, i, a[i]);
    while(m --) {
        scanf("%d%d%d", &l ,&r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) b[i] += b[i-1]; // 求b的前缀数组
    for (int i= 1; i <= n; i ++) printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

循环优化

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        insert(i, i, a[i]);
    }

    while(m --) {
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        b[i] += b[i-1];
        printf("%d ", b[i]);
    }
    return 0;
}