题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

主要考点

动态规划

解题思路

闫氏DP分析法

一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：从前i个物品中选,且总体积不超过j的所有方案的集合.
2. 属性：最大值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据第i个物品有多少个来划分.含0个、含1个···含k个.
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

基本代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int v[N], w[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++){
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

一次优化

f[i][j]推倒过程：
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - v[i]] + w[i] + f[i - 1][j - 2 * v[i]] + 2 * w[i] ···
f[i][j - v[i]] = f[i - 1][j - v[i]] + f[i - 1][j - 2 * v[i]] + w[i] ···
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - v[i]]

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int v[N], w[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]){
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

二次优化

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];
int v[N], w[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++){
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

完全背包思想的应用

整数划分