AcWing 4. 多重背包问题 I

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AcWing 4. 多重背包问题 I 原题链接简单

作者：

water-lover , 2020-08-02 12:12:33 , 所有人可见 , 阅读 11581

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20

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

输入样例

输出样例：

主要考点

动态规划

解题思路

闫氏DP分析法

一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：从前i个物品中选,且总体积不超过j的所有方案的集合.
2. 属性：最大值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据第i个物品有多少个来划分.含0个、含1个···含k个.
状态表示与完全背包朴素代码一样均为：
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

时间复杂度$O(n * v * s)$

C ++代码 ---------------- 朴素版

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 110;

int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int n, m;

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++){//枚举背包
        for(int j = 1; j <= m; j ++){//枚举体积
            for(int k = 0; k <= s[i]; k ++){
                if(j >=  k * v[i]){
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                }
            }
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n * logs * v)$

C ++代码 ---------------- 优化版

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 25000;

int f[N], v[N], w[N];
int n, m;

int main(){
    cin >> n >> m;

    //将每种物品根据物件个数进行打包
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;

        int k = 1;
        while(k <= s){
            cnt ++;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if(s > 0){
            cnt ++;
            v[cnt] = s * a;
            w[cnt] = s * b;
        }

    }

    //多重背包转化为01背包问题
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++){
        for(int j = m; j >= v[i]; j --){
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

对比题链接

25 评论

猿小龙 2022-07-23 09:39

错了，兄弟，si取0是取不到的，而且，虽然你写的状态表示是正确的，但是与完全背包问题的闫氏DP分析法得出的状态表示是不一样的。

保持热爱_4 6个月前

怎么个事，我都会，太简单了！

Junjun. 11个月前

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-kv[i]]+kw[i]);想问一下，这里f[i][j]为什么不是f[i-1][j]？求大神指导

flamingo_0425 9个月前

后面k=0的时候就是这种情况呀，f[i][j]初始默认是0，其实就是找到后面那一项的最大值给f[i][j]

p_nullptr_j 11个月前

这个题解未免过于敷衍了

snowstorm 2023-12-21 12:07

如果还不明白的童鞋可以看看这篇click here,感觉讲的很详细

兑生 2023-05-11 15:54

//朴素版代码补充 java版


import java.util.Scanner;

public class Main
{
static int N = 110;
static int[] s = new int[N];
static int[] w = new int[N];// 价值 weight
static int[] v = new int[N];// 体积 volum

static int[][] f = new int[N][N];

public static void main(String[] args)
{
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
// 输入
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i)
{
v[i] = sc.nextInt();
w[i] = sc.nextInt();
s[i] = sc.nextInt();
}
// DP（三重循环 n^3）
for (int i = 1; i <= n; i)// 枚举物品
for (int j = 1; j <= m; j)// 枚举体积
{
f[i][j] = f[i-1][j];
for (int k = 0; k <= s[i]; k)// 枚举选取当前物品的数量
if(j >= k * v[i])
f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + w[i] * k);
}
System.out.println(f[n][m]);
}
}

l._59 9个月前

抓

acwing_16834 5个月前

优化版为什么N取25000？

baikun 10个月前

第二个题解把N设成2000为什么会WA ？？？

li2022 2023-08-26 11:33

想问一下，当前容量不够时，f[i][j]=f[i-1][j]这行代码体现在哪里？

知行合一_72 2023-01-06 19:09

这个最好！

JXUCM主将从现 2022-09-15 20:09

朴素版为什么k从0开始呢

冷水 2022-10-14 13:17

因为加上k这个维度后，opt不能表示不同k的维度的最优解，必须在前两个维度相同的情况下进行比较
也就是max(
opt[i-1][j]
, opt[i-1][j-one_costk] + one_valuek
, 上一次不同的k时比较的最大值即 opt[i][j]
)
而 k从0开始，k取0的时候：
opt[i-1][j-one_costk] + one_valuek == opt[i-1][j]
因此将k从0开始取可以避免三元max比较！