题目描述

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

题目考点

动态规划

解题思路

闫氏DP分析法

一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：从前i组物品中选,且总体积不超过j的所有方案的集合.
2. 属性：最大值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据从第i组物品中选哪个物品进行划分.
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);

C ++ 代码 ------- 朴素版

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 110;

int f[N][N];
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int n, m;

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> s[i];//第i组物品的数量
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++){//依次读入第i组第j个物品的体积和价值
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];//第i组物品一个都不选
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++){
                if(j >= v[i][k]){
                   f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            } 
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

C ++ 代码 ------- 优化版

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 110;

int f[N];
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int n, m;

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> s[i];//第i组物品的数量
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++){//依次读入第i组第j个物品的体积和价值
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = m; j >= 1; j --){
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++){
                if(j >= v[i][k]){
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            } 
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}