题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

主要考点

动态规划、状态压缩、位运算

解题思路

闫氏DP分析法

一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：从0号点出发,最终停留在j号点,且其路径状态为i的距离的集合.
2. 属性：最小值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据倒数第2个点进行划分.
f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ (1 << j)][k] + w[k][j]);

C ++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 20, M = 1 << 20;

int w[N][N];//点i到j的距离
int f[M][N];//f[i][j]表示：从0号点出发,最终停留在j号点的距离的最小值,且其路径状态为i.
int n;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            cin >> w[i][j];
        }
    }

    memset(f, 0x3f3f3f3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;//最初停留在0号点,其初始路径状态为1,距离为0
    for(int i = 1; i < (1 << n); i ++){//枚举所有状态
        for(int j = 0; j < n; j ++){//枚举每一位,最低位为第0位···
            if(i >> j & 1){//取出i的第j位
                for(int k = 0; k < n; k ++){//i ^ (1 << j) 等价于 i - (1 << j)
                    if(i ^ (1 << j) >> k & 1){//表示改变i的第j位,0变1,1变0.
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ (1 << j)][k] + w[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;//最终停留在第n - 1号点上,路径状态全为1, 即全走过.

    return 0;
}