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题目描述

农夫约翰的土地由$M \times N$ 个小方格组成，现在他要在土地里种植玉米。

非常遗憾，部分土地是不育的，无法种植。

而且，相邻的土地不能同时种植玉米，也就是说种植玉米的所有方格之间都不会有公共边缘。

（注意：这里是上下左右边缘，不是两斜对角边缘）

现在给定土地的大小，请你求出共有多少种种植方法。

土地上什么都不种也算一种方法。

输入格式

第$1$行包含两个整数$M$和$N$。

第$2 \dots M+1$行：每行包含$N$个整数$0$或$1$，用来描述整个土地的状况，$1$表示该块土地肥沃，$0$表示该块土地不育。

输出格式

输出总种植方法对$100000000$取模后的值。

数据范围

$$ 1 \le M,N \le 2 $$

输入样例：

2 3
1 1 1
0 1 0

输出样例：

9

算法解析

配合算法进阶课y总讲解视频使用更佳。

算法构造

经典的棋盘型状态压缩动态规划，我们可以按照之前Acwing上P1064小国王的思路，处理本题。

首先，我们需要明确，题目的要求：

1. 统计方案数
2. 有些土地不能种植

状态设计

首先，我们得明确状态是什么。

我们这个状态，肯定是要统计方案数。

我们这个状态，必然需要表示每一行土地种植的状态。

因此得到：
$$ f[i][s]表示已经种植前i行，且第i行种植的状态为s的方案数 $$

状态转移

题目的限制条件，其实就是我们转移的限制条件。

我们知道，这里是十字形的禁止种植，也就是上下左右不能有相邻的两棵玉米。

那么怎么判断呢？

如果说我们把$1$表示这个地方种植玉米，$0$表示不种植
$$ S=1110 \quad 1,2,3这三个地方种玉米，第四个地方不种植玉米 $$
对于一行而言，不能种植相邻的玉米。

即：

对于一行而言，不能有相邻的$1$
$$ S=1110 \quad 是不合法的状态 $$
对于相邻的两行而言，不能在同一列都种植玉米
$$ a=1010 \\\\ b=1000 \\\\ 这是不可以的，在第一个位置会出现上下矛盾 $$
那么我们可以转化为：
$$ a \& b==0 $$
最后，对于题目中的土地不能种植，我们可以认为。
$$ 如果第i行的状态为s，那么荒废土地处不能有1 $$
我们可以设计一个数组：
$$ g[i]表示第i行不能种植土地的状态 \\\\ g[1]=1011 \quad 表示第一行，第一个，第三个，第四个位置不能种植玉米 $$
总而言之
$$ 第i行的状态为s \\\\ 那么s \& g[i]==0 $$

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=13,Mod=100000000;
vector<int> state,head[1<<N];
int n,m,x,f[14][1<<N],g[N];
inline bool check(int x)//快速判断有没有相邻的1
{
    return !(x&x>>1);
}
inline void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for (int j=1; j<=m; j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            g[i]+=(!x<<(j-1));//荒废土地是0，我们在这里转换为1
        }
    for(int i=0; i<(1<<m); i++)
        if (check(i))//这个状态不存在种植左右相邻的玉米
            state.push_back(i);
    for(int i=0; i<state.size(); i++)
        for(int j=0; j<state.size(); j++)
            if (!(state[i] & state[j]))//i对应的状态和j对应的状态没有在同一列种植玉米
                head[i].push_back(j);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=n+1; i++)
        for(int a=0; a<state.size(); a++)
        {
            if (state[a] & g[i])//在第i行，状态a是否满足在荒废土地没有种植玉米
                continue;
            for(int b=0; b<head[a].size(); b++)//从上一行b对应的状态，转到本行a对应的状态
                f[i][a]=(f[i][a]+f[i-1][head[a][b]])%Mod;
        }
    printf("%d\n",f[n+1][0]);//表示第n+1行什么都没种植的状态，其实就是累加f[n][S]
}
signed main()
{
    init();
    return 0;
}