题目描述

X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入格式

第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。

接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

数据范围

1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

输入样例1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例1：

2

输入样例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例2：

14

主要考点

动态规划

改编源题

摘花生
最长上升子序列

解题思路：

闫氏DP分析法

一、状态表示：f[i][j][u][v]
1. 集合：从起点开始到达(i, j),且已选u个物品,最后一件物品的价值是v的集合
2. 属性：方案数

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据第i个物品的来向进行来划分,划分为两大类,来自上方,来自左方.然后根据是否包含第i个物品在进行划分,包含第i个物品,不包含第i个物品.

方便起见用val表示f[i][j][u][v]
(1)不装第u件物品
val = val + f[i - 1][j][u][v];//来自上方
val = val + f[i][j - 1][u][v];//来自左方
(2)装第u件物品
val = val + f[i - 1][j][u - 1][c];//来自上方
val = val + f[i][j - 1][u - 1][c]);//来自左方

图示如下：

C ++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 55, M = 15, MOD = 1000000007;

int f[N][N][M][M];
int w[N][N];
int n, m, k;

int main(){
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            cin >> w[i][j];
            w[i][j] ++;//物品价值整体右移,便于边界处理
        }
    }

    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;
    f[1][1][0][0] = 1;

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
      for(int j = 1; j <= m; j ++){
          for(int u = 0; u <= k; u ++){//枚举物品件数 0 ~ k
              for(int v = 0; v <= 13; v ++){
                  int &val = f[i][j][u][v];
                  //不装第u件物品
                  val = (val + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;//来自上方
                  val = (val + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;//来自左方

                  //装第u件物品
                  if(v == w[i][j]){
                      for(int c = 0; c < v; c ++){
                          val = (val + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD;//来自上方
                          val = (val + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD;//来自左方
                      }
                  }
              }
          }
      } 
    }

    int res = 0;
    for(int i = 0; i <= 13; i ++) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;

    cout << res << endl;

    return 0;
}