题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V

的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i
种物品的体积是 vi，价值是 wi

。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。
数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

10

思路

f[i][j] : 所有从前i个物品中选，且体积不超过j的方案中的最大价值

状态划分：设最多选k件，则分为 选0件第i个物品， 选1件第i个物品， ······ ， 选k件第i个物品

选0件第i个物品 :  f[i][j] = f[i - 1][j]
选1件第i个物品 :  f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
    ·
    ·
    ·
选k件第i个物品 :  f[i][j] = f[i - 1][j - k * v] + k * w;

f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v] + w, ···· ,f[i - 1][j - k * v] + k * w)
f[i][j - v] = max(        f[i - 1][j - v], ····      f[i - 1][j - k * v] + (k - 1) * w), f[i - 1][j - (k + 1) * v] + (k + 1) * w)

通过对比观察发现  f[i][j]从第2项开始到第k项等于f[i][j - v]的第1项到第(k - 1)项加w    


因为最多可以装下 k 件物品 f[i][j - v]的最后一个状态 (k + 1) * v > j 所以舍去此项

再将f[i][j - v]代入f[i][j] 得 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v] + w);

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n,v,vi,wi;
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        cin >> vi >>wi;
        for(int j = 0; j <= v; ++j){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= vi)f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - vi] + wi);
        }
    }
    cout << f[n][v] << endl;

    return 0;
}