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负环: 一个有向图/无向图中 环路的边权和<0
因为是一个环,所以可以循环无限次,那么这些环上的点的距离就会变成-∞
求负环:
基于spfa
spfa 每入队一次 就相当于更新一次 如果入队>=n次
在bellman_ford中 每更新一次 最短距离变小 但一个点的最短距离不可能变小n次
1 统计每个点入队的次数 如果某个点入队n次
说明存在负环
←o
↓ ↑
o→o→o...o→o 总共n个点,则对于点i到其他点最多n-1条边,入队n次说明包含n条让dist[i]变小的边
同时因为更新原则是加上第n条边后最短路权重变小
所以第n条边是负的 则该路径一定存在负环
2 统计当前每个点的最短路中所包含的边数,如果某个点的最短路所包含的边数>=n
说明存在负环
n条边 则一定有n+1个点 但我们总共就n个点 所以这条最短路上一定有环
同时因为更新原则是加上第n条边后最短路权重变小
所以第n条边是负的 则该路径一定存在负环
推荐第2种方法:
考虑:
当数据如 -1
o←o
-1↓ ↑-1
o→o
-1
如果用第一种方法 转完一圈之后每个点只入队一次,达到判定要求则需要转n圈
O(n^2)
如果用第二种方法 转完一圈之后就能达到判定要求
O(n)
还有一个问题:
负环不一定从起点走到
4
↓ ↑
1→...2→3
解决方案:
将所有点入队的同时把所有点的距离初始化为0
q.push(node) for all_node
dist[node] = 0 for all_node
why 所有点入队? (结合虚拟源点建新图理解)
1 虚拟源点0向所有点连一条长度是0的边构成一条新的图
同时以虚拟源点0作为新图的起点
2 原图中存在负环 == 新图中存在负环
而新图里所有的负环一定能从虚拟源点出发走到
3 那么我们对新图做spfa时就是把虚拟源点0加入queue
而0 pop出来后队列会把所有原图的节点加入queue
why dist[node]=0?
1 有负环 == 做完spfa后 存在点i dist[i] = -∞
2 赋的初值0也是有限值,做完spfa后都会变成-∞
3 w[node]都是有限值 则必然要更新无限次(更新次数>=n)
最后来个玄学操作
spfa O(m) ~ O(nm)
当spfa效率比较低的时候(一直结束不了的时候)
等价于 存在负环
可测量化:当所有点入队次数超过2n,我们就认为图中很大可能存在负环
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 510, M = 5210;
int n, m1, m2;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
int cnt[N];
bool st[N];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++ ;
}
bool spfa()
{
memset(dist, 0, sizeof dist);
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
memset(st, 0, sizeof st);
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while(q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;//从t到j多了一条边w[t][j]
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T -- )
{
cin >> n >> m1 >> m2;
memset(h, -1, sizeof h);
idx = 0;
for (int i = 0; i < m1; i ++ )
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c), add(b, a, c);
}
for (int i = 0; i < m2; i ++ )
{
//虫洞 回到t秒前 时间time-t秒
// 单向负边
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, -c);
}
if (spfa()) cout << "YES" << endl;
else cout << "NO" << endl;
}
return 0;
}
dist可以不初始化为0,因为这个数组只在更新的时候用来更新cnt,只要dist初始值全部都是相同的就行。
为啥我的过不了一样的
如果dist初始化比0大,虚拟源点出队的时候才会把其他点入队,因此y总不显式的写虚拟源点,相当于直接入队了
如果dist初始化为0,那么虚拟源点出队的时候会把其他所有点入队嘛? (0 不比 0 小啊)
如果出发点和负环不连通,不能在出发时刻之前回到出发地,有没有这种情况?上述代码是否解决了这个问题?
题意要求的是农夫可以在任一一个田地出发,所以只要存在负环,选择在负环上的田地就一定可以回到过去