问题描述

有一个$m×m$的棋盘，棋盘上每一个格子可能是红色、黄色或没有任何颜色的。

你现在要从棋盘的最左上角走到棋盘的最右下角。 

任何一个时刻，你所站在的位置必须是有颜色的（不能是无色的），你只能向上、下、左、右四个方向前进。

当你从一个格子走向另一个格子时，如果两个格子的颜色相同，那你不需要花费金币；如果不同，则你需要花费1个金币。 

另外，你可以花费2个金币施展魔法让下一个无色格子暂时变为你指定的颜色。

但这个魔法不能连续使用，而且这个魔法的持续时间很短，也就是说，如果你使用了这个魔法，走到了这个暂时有颜色的格子上，你就不能继续使用魔法；只有当你离开这个位置，走到一个本来就有颜色的格子上的时候，你才能继续使用这个魔法，而当你离开了这个位置（施展魔法使得变为有颜色的格子）时，这个格子恢复为无色。 

现在你要从棋盘的最左上角，走到棋盘的最右下角，求花费的最少金币是多少？

输入格式
数据的第一行包含两个正整数m，n，以一个空格分开，分别代表棋盘的大小，棋盘上有颜色的格子的数量。  

接下来的n行，每行三个正整数x，y，c，分别表示坐标为（x，y）的格子有颜色c，其中c=1代表黄色，c=0代表红色。

相邻两个数之间用一个空格隔开。棋盘左上角的坐标为（1, 1），右下角的坐标为（m, m）。  

棋盘上其余的格子都是无色，保证棋盘的左上角，也就是（1，1）一定是有颜色的。

输出格式
输出一行，一个整数，表示花费的金币的最小值，如果无法到达，输出-1。

数据范围
$1≤m≤100$,
$1≤n≤1000$

输入样例：

5 7
1 1 0
1 2 0
2 2 1
3 3 1
3 4 0
4 4 1
5 5 0

输出样例：

8

算法思想

本题求从棋盘(1,1)位置移动到(m,m)位置花费的最小金币数，在移动的过程中需要符合以下规则：

• 所站在的位置必须是有颜色的（不能是无色的）
• 只能向上、下、左、右四个方向前进
• 从一个格子走向另一个格子时，如果两个格子的颜色相同，不需要花费金币；如果不同，需要花费1个金币
• 可以花费2个金币施展魔法让下一个无色格子暂时变为指定的颜色，但魔法不能连续使用。

从题目描述来分析，是求有条件约束的最短路，可以考虑BFS和DFS。因为从一个点转移到另一个点的代价不同相同，所以使用DFS实现。
不妨设当前走到棋盘(x,y)位置，花费了gold个金币，从上个位置转移过来时是否使用了魔法、用magic表示，那么：

• 走到当前位置的代价：dist[x][y] = gold
• 如果(x,y)位置为终点，即x == m && y == m，搜索结束
• 从(x,y)位置向4个方向进行扩展，不妨设扩展到的位置为(a,b)
  • 如果(a,b)没有颜色，并且上次扩展到(x,y)时、已经使用了魔法，则无法扩展到(a,b)
  • 如果(a,b)没有颜色，并且上次扩展到(x,y)时、没有使用魔法，则花费2个金币、使用魔法将(a,b)位置的颜色设置成(x,y)位置上的颜色，继续dfs(a, b, gold + 2, true)
  • 如果(a,b)位置上的颜色和(x,y)位置上的颜色相同，继续dfs(a, b, gold, false)
  • 如果(a,b)位置上的颜色和(x,y)位置上的颜色不同，花费1个金币，继续dfs(a, b, gold + 1, false)

时间复杂度

在dfs过程中，对于棋盘的每个点都会遍历一遍，所以时间复杂度为$O(m^2)$。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int color[N][N], dist[N][N];
int dx[] = {-1, 1, 0, 0}, dy[] = {0, 0, -1, 1};
int m, n;

//搜索当前位置(x,y)，花费金币gold，是否使用了魔法
void dfs(int x, int y, int gold, bool magic)
{
    if(dist[x][y] <= gold) return; // 最优性剪枝

    dist[x][y] = gold;

    if(x == m && y == m) return;

    for(int i = 0; i < 4; i ++)
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        // 可行性剪枝
        if(a < 1 || a > m || b < 1 || b > m) continue;

        if(color[a][b] == -1)
        {
            if(magic) continue;
            else 
            {                
                color[a][b] = color[x][y];//使用魔法，将当前格子变颜色
                dfs(a, b, gold + 2, true);
                color[a][b] = -1;//恢复现场
            }
        }
        else if(color[a][b] == color[x][y]) dfs(a, b, gold, false);
        else dfs(a, b, gold + 1, false); //颜色不同，需要花费一个金币
    }
}

int main()
{

    cin >> m >> n;
    //初始状态为-1，表示都没有颜色
    memset(color, -1, sizeof color);

    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x, y, c;
        cin >> x >> y >> c;
        color[x][y] = c;
    }

    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    dfs(1, 1, 0, false);

    if(dist[m][m] == 0x3f3f3f3f) cout << -1 << endl;
    else cout << dist[m][m] << endl;

    return 0;
}