/*
无向图
双连通分量
1 边的双连通分量 e-dcc 极大的不包含桥的连通块
2 点的双连通分量 v-dcc 极大的不包含割点的连通块
删除后不连通 的 两个定义
桥
o-o 桥o-o
| | ↓ | |
o-o - o-o
1 如何找桥? x
/
y
x和y之间是桥 <=> dfn[x] < low[y] y无论如何往上走不到x
+y能到的最高的点low[y] = dfn[y]
2 如何找所有边的双连通分量?
2.1 将所有桥删掉
2.2 stack
dfn[x] == low[x]
<=> x无论如何走不到x的上面
<=> 从x开始的子树可以用一个栈存
每个割点至少属于两个连通分量
树里的每条边都是桥
o
/ \
o o
/\ /\
o o o o
1 边双连通分量
tarjan回顾
dfn[x] dfs序时间戳
low[x] x能达到的时间戳最小的点
无向图不存在横插边
o
/ \
o o
/ / \
y ← x o
→
x能往左的话 由于无向边 所以y也能往右,
那么在之前dfs的时候就把x先于x的父节点加进来了
*/
/*
新建一条道路 使得每两个草场之间都有一个分离的路径
给定一个无向连通图,问最少加几条边,可以将其变为一个边双连通分量
结论:一个边的双连通分量 <=> 任何两个点之间至少存在两个不相交路径
充分性: 对于每两个点都有互相分离的路径的话,则必然为强连通分量
反证 假设有桥(非双连通) x,y必然经过中间的桥 则只x→y的路径必在桥上相交
o-x 桥y-o
| | ↓ | |
o-o - o-o
必要性:图是一个边双连通分量 <=> 不包含桥
则一定对任意两点x,y
x,y之间至少存在两条互相分离(不相交)的路径
反证:假设存在两条相交路径
那么x→y中间必然有桥
// o-o-o-o-o 蓝色路径 (从x出发到y经过边数最少的路径)
// - - - - 绿色路径
// x y
对双连通分量做完缩点后 只剩桥和点
o
/ \
o o
/\ /\
o o o o
/ \
o o
o
/ \
o o
/\ /\
o o-o o
/ \ | |
o o__| |
|_________|
可以发现对左右两个叶子节点连通后,根节点连向左右叶子节点的边就可以删去了
同理 再把第2个和第4个叶子节点连通后,根节点连向第2个和第4个叶子节点的边也可以删去
第3个叶子节点随便连
给叶子节点按对称性加上边后就没有桥 <=> 变成边的双连通分量
这里cnt= 5 加了ans=(cnt+1)/2=3条
ans >= 下界[cnt/2]取整 == [(cnt+1)/2]取整
其中 cnt为缩完点后度数==1的点的个数
*/
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5010, M = 20010;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dfn[N], low[N], timestamp;
int stk[N], top;
int id[N], dcc_cnt;
bool is_bridge[M];//每条边是不是桥
int d[N];//度数
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
}
void tarjan(int u, int from)
{
dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
stk[ ++ top] = u;
for (int i = h[u]; i!=-1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!dfn[j])//j未遍历过
{
tarjan(j, i);//dfs(j)
low[u] = min(low[u], low[j]);//用j更新u
if (dfn[u] < low[j])//j到不了u
// 则x-y的边为桥,
//正向边is_bridge[i] 反向边is_bridge[i ^ 1]都是桥
is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;
// 这里i==idx 如果idx==奇数 则反向边=idx-1 = idx^1
// 如果idx==偶数 则反向边=idx+1 = idx^1
}
// j遍历过 且i不是反向边(即i不是指向u的父节点的边)
// 因为我们不能用u的父节点的时间戳更新u
else if (i != (from ^ 1))
low[u] = min(low[u], dfn[j]);
}
//双连通分量起点u /
// u
// /
// ne1
// ne2
if (dfn[u] == low[u])
{
++ dcc_cnt;
int y;
do {
y = stk[top -- ];
id[y] = dcc_cnt;
} while (y != u);
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b), add(b, a);
}
tarjan(1, -1);//防止搜反向边 用一个from
for (int i = 0; i < idx; i ++ )
//如果边i是桥 在其所连的出边的点j所在强连通分量的度+1
// 桥两边的双连通分量各+1
if (is_bridge[i])
d[id[e[i]]] ++ ;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= dcc_cnt; i ++ )
if (d[i] == 1)//多少个度数为1的节点(强连通分量)
cnt ++ ;//需要加的边的数量
cout << (cnt + 1) / 2 << endl;
return 0;
}
代码中找到桥后对桥标记的地方下面的注释写错了,原话:// 这里i==idx 如果idx==奇数 则反向边=idx+1 = idx^1
纠正:如果idx是奇数, 则idx^1应该是idx - 1 而不是 + 1;
谢谢,博主已修正
逮到了
else if (i != (from ^ 1))
low[u] = min(low[u], dfn[j]);这里为啥不是low更新
自己查,网上很多解释
可以是low但是求割点不能是low
倒数第二个注释写错了罢
好多都写成强连通分量力
Orz
写的是真的不错
Orz
orz
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