题目描述

给你一个正整数数组 arr，请你计算所有可能的奇数长度子数组的和。

子数组 定义为原数组中的一个连续子序列。

请你返回 arr 中 所有奇数长度子数组的和。

样例

输入：arr = [1,4,2,5,3]
输出：58
解释：所有奇数长度子数组和它们的和为：
[1] = 1
[4] = 4
[2] = 2
[5] = 5
[3] = 3
[1,4,2] = 7
[4,2,5] = 11
[2,5,3] = 10
[1,4,2,5,3] = 15
我们将所有值求和得到 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58
示例 2：

输入：arr = [1,2]
输出：3
解释：总共只有 2 个长度为奇数的子数组，[1] 和 [2]。它们的和为 3 。
示例 3：

输入：arr = [10,11,12]
输出：66

限制

• 1 <= arr.length <= 100
• 1 <= arr[i] <= 1000

算法1

(暴力枚举) $O(n^2)$

1. 枚举起点。对于每个起点，枚举终点，对于每个奇数长度的终点，累加当前的区间和。

时间复杂度

• 共有 $O(n^2)$ 对区间，故总时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int n = arr.size();
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                sum += arr[j];
                if ((j - i + 1) % 2 == 1)
                    ans += sum;
            }
        }
        return ans;
    }
};

算法2

(数学) $O(n)$

1. 对于每个位置计算覆盖这个位置的区间个数。
2. 假设当前位置左半段的长度（包含当前位置）为 $l$，右半段的长度（包含当前位置）为 $r$。
3. 将 $l$ 和 $r$ 分别分为两类，一类是距离当前位置为奇数的点 $lOdd$ 和 $rOdd$，一类是距离当前位置为偶数的点 $lEven$ 和 $rEven$。其 $lOdd \times rOdd + lEven \times rEven$ 就可以构造出长度为奇数的区间。

时间复杂度

• 每个位置仅需要常数的时间计算区间的个数，故总时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {
        const int n = arr.size();
        int ans = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l = i + 1, r = n - i;
            int lOdd = l / 2, rOdd = r / 2;
            int lEven = l - lOdd, rEven = r - rOdd;
            ans += arr[i] * (lOdd * rOdd + lEven * rEven);
        }

        return ans;
    }
};