题目描述

设有字符串X，我们称在X的头尾及中间插入任意多个空格后构成的新字符串为X的扩展串，如字符串X为”abcbcd”，则字符串“abcb□cd”，“□a□bcbcd□”和“abcb□cd□”都是X的扩展串，这里“□”代表空格字符。

如果A1是字符串A的扩展串，B1是字符串B的扩展串，A1与B1具有相同的长度，那么我扪定义字符串A1与B1的距离为相应位置上的字符的距离总和，而两个非空格字符的距离定义为它们的ASCII码的差的绝对值，而空格字符与其他任意字符之间的距离为已知的定值K，空格字符与空格字符的距离为0。在字符串A、B的所有扩展串中，必定存在两个等长的扩展串A1、B1，使得A1与B1之间的距离达到最小，我们将这一距离定义为字符串A、B的距离。

请你写一个程序，求出字符串A、B的距离。

输入格式

输入文件第一行为字符串A，第二行为字符串B。A、B均由小写字母组成且长度均不超过2000。第三行为一个整数K$（1≤K≤100）$，表示空格与其他字符的距离。

输出格式

输出文件仅一行包含一个整数，表示所求得字符串A、B的距离。

样例

输入
cmc
snmn
2

输出
10

算法1

动态规划 $O(nm)$

定义dp[i][j] 表示dp[i][j] 字符串a的前i个字符和字符串b的前j个字符所形成的扩展字符之间的最小距离
有以下三种状态转移：

• 1.dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + k);
• 2.dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + k);
• 3.dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + abs(ASCII(a[i])-ASCII(b[i]));

我们使用一张图来理解一下这个状态转移的过程：

初始化状态

设A字符串长度为n

for(int i = 1; i<=n; i++) dp[i][0] = i*k;

即让i与长度为n的连续空格串的距离， B字符串同理

时间复杂度

状态数是n*m，状态转移是O(1)的，故时间复杂度是O(nm)

参考文献

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2020;

char a[N], b[N];
int k;
int dp[N][N];

//dp[i][j] 字符串a的前i个字符和字符串b的前j个字符所形成的扩展字符的最小距离

int main()
{
    cin>>a+1>>b+1>>k;

    int n = strlen(a+1), m = strlen(b+1);
    memset(dp,0x3f,sizeof dp);

    //初始化
    for(int i = 1; i<=n; i++){
        dp[i][0] = i*k;
    }
    for(int i = 1; i<=m; i++){
        dp[0][i] = i*k;
    }
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i<=n; i++){
        for(int j = 1; j<=m; j++){
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + k);
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + k);
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + abs((int)a[i]-(int)b[j]));
            // cout<<"i->"<<i<<" j->"<<j<<" "<<dp[i][j]<<endl;
        }
    }

    cout<<dp[n][m];
    return 0;
}