题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

样例

输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

算法1

(暴力枚举) $O(2*n*n^2)$

dp[i][j] = min{dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + map[k][j]}
其中map数组为权值，map[k][j]是点k到点j的权值

dp[i][j]表示当前已经走过点的集合为i，移动到j。所以这个状态转移方程就是找一个中间点k，将已经走过点的集合i中去除掉j（表示j不在经过的点的集合中），然后再加上从k到j的权值

问题在于如何表达已经走过点的集合i，其实很简单，假如走过0,1,4这三个点，我们用二进制10011就可以表示，2,3没走过所以是0

那么走过点的集合i中去除掉点j也很容易表示i - (1 << j)，比方说i是{0,1,4}，j是1，那么i = 10011，(1 << j) = 10，i - (1 << j) = 10001

那么问题的答案就应该是dp[01....111][n-1]，表示0~n-1都走过，且当前移动到n-1这个点

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20,M=1<<N;
int n;
int  w[N][N];
int f[M][N];
int main()
{
                  cin>>n;
           for(int i=0;i<n;i++)
          for(int j=0;j<n;j++)
               cin>>w[i][j];
             memset(f,0x3f,sizeof f);
              f[1][0]=0;
              for(int i=0;i<1<<n;i++)
                for(int j=0;j<n;j++)
                    if(i>>j &1)
                for(int k=0;k<n;k++)
                      if((i-(1<<j)) >> k &1)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);
                    cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
                            return 0;
}

算法2

Fi,j表示点被经过的状态，且目前处于第j时的最短路径F[i,j]=min(F[i xor (1<<j),k]+weight[k][j]),因为点j只能恰好被经过一次，所以上一时刻“被经过的状态”对应的二进制数的J位为0，而上一时刻位置位于i xor(k<<j)中的任意一个是1的数位k,即加上weight[k][j];

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20,M=1<<N;
int n;
int w[N][N];
int f[M][N];
int main()
{
            cin>>n;
      for(int i=0;i<n;i++)
       for(int j=0;j<n;j++)
           cin>>w[i][j];
          memset(f,0x3f,sizeof f); 
                f[1][0]=0;
            for(int i=0;i<1<<n;i++)
             {for(int j=0;j<n;j++){
                  if(i>>j & 1)
              for(int k=0;k<n;k++)
                 if(i >> k & 1)
               f[i][j]=min(f[i][j],f[i^1<<j][k]+w[k][j]);
                }
             }

             cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
                    return 0;
}