[NOIP2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a, b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i \leq |a|$，使得 $a_i \neq b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：
- $6$
- $6, 1$
- $6, 2$
- $6, 3$
- $6, 2, 1$
- $6, 3, 1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n \leq 10^3$。

题解:

思路一:递推

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= i / 2; j++)
        {
            f[i] += f[j];
        }
    }

    cout << f[n];

    return 0;
}

思路二:递归（记忆化）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;

int num[N];


int fun(int x)
{
    if (x == 1) return 1;
    int res = 1;
    if (num[x]) return num[x];
    for (int i = 1; i <= x / 2; i++)
    {
        res += fun(i);
    }
    num[x] = res;
    return res;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int n;
    cin >> n;

    cout << fun(n);

    return 0;
}