题目描述

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在 n∗n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
现在给定整数n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数n。

输出格式

每个解决方案占n行，每行输出一个长度为n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中”.”表示某一个位置的方格状态为空，”Q”表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

样例

输入样例：
4
输出样例：
.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

知识点

第一种是先判断在dfs的
第二种先dfs再进行判断
第二种是有两种分支：在当前格子放皇后，还是不放皇后。判断前面的dfs对应不放皇后，判断里面的dfs对应放皇后，都不可以去掉。第一种是枚举在当前行的哪一列上放皇后。
两种方法综合来看：每次在放皇后时，都需要先判断；不放时不用判断。

算法1 O（n*n!）

枚举每一行皇后放哪个位置，和全排列的思想是一样的

C++ 代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 20;




int n;
char g[N][N]; //存路径
bool col[N], dg[N], udg[N];// 判断搜索的下一个位置是否可行

void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) puts(g[i]);   
        puts("");  
        return;
    }

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        // 剪枝(对于不满足要求的点，不再继续往下搜索)           
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i])
        {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
            dfs(u + 1);
            // 恢复现场 
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';

        }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            g[i][j] = '.';

    dfs(0);

    return 0;
}   

算法2 O（2^n^2）

依次枚举每个格子放不放皇后（有n行格子的话，枚举n^2个格子）

C++ 代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int n;
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2];
char g[N][N];

void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (s > n) return;
    if (y == n) y = 0, x ++ ;

    if (x == n)
    {
        if (s == n)
        {
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }

    g[x][y] = '.';
    dfs(x, y + 1, s);

    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        g[x][y] = 'Q';
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            g[i][j] = '.';
    dfs(0, 0, 0);
    return 0;
}