题目描述

给定一个长度为 n 的整数数组 A。

假设 B_k 是数组 A 顺时针旋转 k 个位置后的数组，我们定义 A 的 旋转函数 F为：

F(k) = 0 * B_k[0] + 1 * B_k[1] + ... + (n-1) * B_k[n-1]。

计算 F(0), F(1), ..., F(n-1) 中的最大值。

注意

可以认为 n 的值小于 10^5。

样例

A = [4, 3, 2, 6]

F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25
F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16
F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23
F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26

所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26。

算法

(找规律) $O(n)$

1. 首先求出数组的和 sum，以及 F[0] 的值 res。
2. 从数组的末尾开始遍历，每次从 F[0] 到 F[1]，相当于 res = res + sum - n * A[n - 1]。从 F[1] 再到 F[2]，相当于 res = res + sum - n * A[n - 2]。
3. 以此类推，找到过程中 res 的最大值。

时间复杂度

• 遍历数组两次，故总时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

#define LL long long
class Solution {
public:
    int maxRotateFunction(vector<int>& A) {
        const int n = A.size();
        if (n == 0) return 0;

        LL sum = 0, res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += A[i];
            res += (LL)(i) * A[i];
        }

        LL ans = INT_MIN;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            res += sum - (LL)(n) * A[i];
            if (ans < res) ans = res;
        }

        return ans;
    }
};