题目描述

小朋友Y特别喜欢爬山，在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。

为了能够对旅程有一个安排，他想知道山峰和山谷的数量。

给定一个地图，为Y想要旅行的区域，地图被分为 $n×n$ 的网格，每个格子 $(i,j)$ 的高度 $w(i,j)$ 是给定的。

若两个格子有公共顶点，那么它们就是相邻的格子，如与 $(i,j)$ 相邻的格子有$(i-1,j-1)$,$(i-1,j)$,$(i-1,j+1)$,$(i,j-1)$,$(i,j+1)$,$(i+1,j-1)$,$(i+1,j)$,$(i+1,j+1)$。

我们定义一个格子的集合 $S$ 为山峰（山谷）当且仅当：

1. $S$ 的所有格子都有相同的高度。
2. $S$ 的所有格子都连通。
3. 对于 $s$ 属于 $S$，与 $s$ 相邻的 $s’$ 不属于 $S$，都有 $w_s$>$w_s’$（山峰），或者 $w_s<w_s’$（山谷）。

如果周围不存在相邻区域，则同时将其视为山峰和山谷。

你的任务是，对于给定的地图，求出山峰和山谷的数量，如果所有格子都有相同的高度，那么整个地图即是山峰，又是山谷。

输入格式
第一行包含一个正整数 n，表示地图的大小。

接下来一个 n×n 的矩阵，表示地图上每个格子的高度 w。

输出格式
共一行，包含两个整数，表示山峰和山谷的数量。

数据范围
$1≤n≤1000$,
$0≤w≤10^9$

输入样例1：

5
8 8 8 7 7
7 7 8 8 7
7 7 7 7 7
7 8 8 7 8
7 8 8 8 8

输出样例1：

2 1

输入样例2：

5
5 7 8 3 1
5 5 7 6 6
6 6 6 2 8
5 7 2 5 8
7 1 0 1 7

输出样例2：

3 3

算法思想 BFS

从题目中描述可以发现$S$ 为山峰（或山谷）当且仅当：

1. $S$ 的所有格子都有相同的高度。
2. $S$ 的所有格子都连通。
3. 对于 $s$ 属于 $S$，与 $s$ 相邻的 $s’$ 不属于 $S$，都有 $w_s$>$w_s’$（山峰），或者 $w_s<w_s’$（山谷）。

即对于同一个连同区域内（高度相同）的格子，如果比之相邻8个方向的格子都要高，就是山峰；如果之相邻8个方向的格子都要矮，就是山谷。可以使用BFS找到所有连同区域内的格子，然后判断其四周8个向，是否存在更高的格子，如果不存在则这个连通块为山峰；是否存在更矮的格子，如果不存在，则为山谷。

在处理过程中，对于没有判断过的连通区域，使用BFS算法，然后累加所有山峰的数量和山谷的数量，即为最后答案。

时间复杂度

$O(n^2)$

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1010;

int g[N][N], st[N][N];
int n;
int q[N * N][2];

void bfs(int x, int y, bool &higher, bool &lower)
{
    int hh = 0, tt = 0;
    q[tt][0] = x, q[tt][1] = y;
    while(hh <= tt)
    {
        x = q[hh][0], y = q[hh][1], hh ++;

        for(int i = x - 1; i <= x + 1; i ++)
            for(int j = y - 1; j <= y + 1; j ++)
            {
                if(i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) continue;

                if(g[x][y] != g[i][j])
                {
                    if(g[x][y] > g[i][j]) lower = true;
                    if(g[x][y] < g[i][j]) higher = true;
                }
                else if(!st[i][j])
                {
                    q[++ tt][0] = i, q[tt][1] = j, st[i][j] = 1;
                }
            }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            scanf("%d", &g[i][j]);

    int peak = 0, valley =  0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            if(!st[i][j])
            {
                bool higher = false, lower = false;
                bfs(i, j, higher, lower);

                if(!higher) peak ++;

                if(!lower) valley ++;
            }
    printf("%d %d\n", peak, valley);
    return 0;
}