组合方案的类似DP求法:
C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m);
解释:类似01背包求方案数,有选和不选两种情况,
如果选,则m上装了n,也就是对应C(n - 1, m - 1)这种状态来的。
如果不选,也就是说m在这之前已经被装了,第二种状态而来。
这很容易,没什么,但对比杨辉三角:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
发现了什么?我们发现杨辉三角的值的求法也就是上述说的组合的类似DP求法。
只需要在这上面建立坐标系,将(0,0)作为原点,也就是最上面的1所在的位置。
n为行,m为列。
(n, m)位置上的数也就对应了(n - 1, m - 1)+ (n - 1, m)的数值。
这样就得出了组合和杨辉三角在一定意义上是相同的。
这不是要思考的对象,目的是发现二项式定理除了数学归纳法的另外一种证明法(因为自己感觉归纳法证明出来的不是很深刻),
(a + b)^ k 也就对应了杨辉三角的第k层(也就是n = k时),每各单项式的系数为何值。
如果没看过上句话,那我们也可以手搓个数据来体会下。
(a+b)(a+b)可以这么想:
有两个乘值一样,2*2个初始单项式,4-2+1=3
所以有三列,又要从按照的指数从大到小排序,所以
系数越多,位置越靠中间。(静静体会)
本来可以举些例子来体验的,但篇幅受限。
接着就发现它成了杨辉三角第k行(层)。
那么Σ[i=0,n]也就是把n用来表示列数了所以要再乘a^(n-i)*b^i也就是表明第k行的第(n-i)个数
为什么b的指数与a的指数相加为n并且形式上是(n-i)和i呢?
因为我们是按a(或b)的指数大小来排列的,而它只会是k项式,而(k-i)+i=k
也就对应了两个项的不同指数,所以整个二项式定理的右侧记录的也就是杨辉三角一行的信息。
至于更多关于其坐标位置得到的许多拓展式,这里就不介绍了。
所以,二项式定理可以用这种更通俗(也就是我个菜鸡想出来的)方法证明。