题目描述

[CSP-J 2023] 一元二次方程

题目背景

众所周知，对一元二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\Delta = b ^ 2 - 4ac$，则:
  1. 若 $\Delta < 0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$。

例如：

• $x ^ 2 + x + 1 = 0$ 无实数解，因为 $\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$。
• $x ^ 2 - 2x + 1 = 0$ 有两相等实数解 $x _ {1, 2} = 1$。
• $x ^ 2 - 3x + 2 = 0$ 有两互异实数解 $x _ 1 = 1, x _ 2 = 2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd(a, b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd(12, 18) = 6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a, b, c$，其中 $a, b, c$ 均为整数且 $a \neq 0$。你需要判断一元二次方程 $a x ^ 2 + bx + c = 0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q > 0$，$\gcd(p, q) = 1$ 且 $v = \frac pq$。
• 若 $q = 1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；

• 例如：

  • 当 $v = -0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $v = 0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；
2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：
   1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。
3. 否则根据上文公式，$x$ 可以被唯一表示为 $x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r$ 的形式，其中：

   - $q _ 1, q _ 2$ 为有理数，且 $q _ 2 > 0$；
   

   • $r$ 为正整数且 $r > 1$，且不存在正整数 $d > 1$ 使 $d ^ 2 \mid r$（即 $r$ 不应是 $d ^ 2$ 的倍数）；

此时：

1. 若 $q _ 1 \neq 0$，则按有理数的格式输出 $q _ 1$，并再输出一个加号 +；
2. 否则跳过这一步输出；

随后：

1. 若 $q _ 2 = 1$，则输出 sqrt({r})；
2. 否则若 $q _ 2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
3. 否则若 $q _ 3 = \frac 1{q _ 2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
4. 否则可以证明存在唯一整数 $c, d$ 满足 $c, d > 1, \gcd(c, d) = 1$ 且 $q _ 2 = \frac cd$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T, M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a, b, c$。

输出格式

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例 #1

样例输入 #1

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

样例输出 #1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：$1 \leq T \leq 5000$，$1 \leq M \leq 10 ^ 3$，$|a|,|b|,|c| \leq M$，$a \neq 0$。

其中：

• 特殊性质 A：保证 $b = 0$；
• 特殊性质 B：保证 $c = 0$；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

【解析】

考虑特殊性质C，轻松拿50分。
详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,M;

main() {
    scanf("%d%d",&T,&M);
    while (T--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        int dt=b*b-4*a*c;
        if (dt<0){
            printf("NO\n");
            continue;
        }
        int p1=(-b+sqrt(dt))/a/2;
        int p2=(-b-sqrt(dt))/a/2;
        int p=max(p1,p2);
        printf("%d\n",p);
    }
    return 0;
}

感谢佛山的梁老师提供的正解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a, b, c, T, M, fz, fm;

int gcd(int x, int y) {
    if (x % y == 0) return y;
    return gcd(y, x%y);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &T, &M);
    while(T--) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        int gen = b * b - 4 * a * c;
        if (gen < 0) {
            printf("NO\n");
        } else if (sqrt(gen) == int(sqrt(gen))) {
            fz = -b + sqrt(gen) *(a > 0 ? 1 : -1);
            fm = 2 * a;
            if (fz % fm == 0) {
                printf("%d\n", fz/fm);
            } else {
                if(fz*fm<0) printf("-");
                int k = gcd(abs(fz),abs(fm));
                printf("%d/%d\n",abs(fz)/k, abs(fm)/k);
            }
        } else {
            if (b != 0) {
                fz = -b;
                fm = 2 * a;
                if (fz % fm == 0) {
                    printf("%d+",fz/fm);
                } else {
                    if(fz*fm<0) printf("-");
                    int k = gcd(abs(fz),abs(fm));
                    printf("%d/%d+",abs(fz)/k, abs(fm)/k);
                }
            }
            int ma = 1;
            for (int i = 2; i*i <= gen; i++) {
                while(gen % (i*i) == 0) {
                    ma *= i;
                    gen /= i* i; 
                }
            }
            fz = ma;
            fm = abs(2 * a);
            if (fz % fm == 0) {
                if (fz != fm) printf("%d*",fz/fm);
                printf("sqrt(%d)\n",gen);
            } else {
                int k = gcd(abs(fz),abs(fm));
                if (fz/k!=1) printf("%d*",fz/k);
                printf("sqrt(%d)/%d\n",gen,fm/k);
            }
        }
    }

    return 0;
}

先计算deta = b * b - 4 * a * c

1、deta < 0则无根，输出NO

2、如果有根，较大的根是：-b/2a+sqrt(deta)/2abs(a)

3、判断deta是否是完全平方数

3.1 deta是完全平方数，说明根是有理数，直接计算x=sqrt(deta)，然后分a正负将-b/2a+x/2abs(a)的符号、分子、分母分别计算出来

 //较大的根为-b/2a+sqrt(deta)/2abs(a)
        int x = sqrt(deta);
        if(x * x == deta) //如果根是有理数，也就是deta是完全平方数，直接计算根的分子、分母
        {
            int s, c, d; //符号，分子，分母
            if(a > 0) c = sqrt(deta) - b, d = 2 * a;
            if(a < 0) c = sqrt(deta) + b, d = 2 * abs(a);
            if(c < 0) s = -1;
            else s = 1;
            c = abs(c), d = abs(d);
            int g = gcd(c, d);
            c /= g, d /= g;
            if(c == 0) cout << 0; //注意如果根是0，要输出0
            if(c != 0)
            {
                if(s < 0) cout << "-";
                cout << c;
                if(d > 1) cout << "/" << d;
            }
        }