[CSP-J 2021] 插入排序

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 $\mathcal O(1)$，则插入排序可以以 $\mathcal O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

这下面是 C/C++ 的示范代码：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j >= 2; j--)
        if (a[j] < a[j-1]) {
            int t = a[j-1];
            a[j-1] = a[j];
            a[j] = t;
        }

这下面是 Pascal 的示范代码：

for i:=1 to n do
    for j:=i downto 2 do
        if a[j]<a[j-1] then
            begin
                t:=a[i];
                a[i]:=a[j];
                a[j]:=t;
            end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

$1~x~v$：这是第一种操作，会将 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$ 的值，修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$，$1 \le v \le 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

$2~x$：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 $a$ 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素，也就是 $a_x$，在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 \le x \le n$。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行，包含两个正整数 $n, Q$，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含 $n$ 个空格分隔的非负整数，其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。

接下来 $Q$ 行，每行 $2 \sim 3$ 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

样例输出 #1

1
1
2

提示

【样例解释 #1】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 2, 1$。

在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 1, 2$。

注意虽然此时 $a_2 = a_3$，但是我们不能将其视为相同的元素。

【样例 #2】

见附件中的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。

该测试点数据范围同测试点 $1 \sim 2$。

【样例 #3】

见附件中的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。

该测试点数据范围同测试点 $3 \sim 7$。

【样例 #4】

见附件中的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。

该测试点数据范围同测试点 $12 \sim 14$。

【数据范围】

对于所有测试数据，满足 $1 \le n \le 8000$，$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$，$1 \le x \le n$，$1 \le v,a_i \le 10^9$。

对于所有测试数据，保证在所有 $Q$ 次操作中，至多有 $5000$ 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

解题思路

Part 1

利用题目中的条件:

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

可以在修改时排序,用循环遍历数组查询单点.
修改复杂度:$O(nlogn)$,查询复杂度:$O(n)$.
但是超时了TLE 76分记录

错误代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
    long long id,x;
};
long long n,m;
node a[1000100];
bool cmp(node a,node b){//按题目中插入排序所给顺序排序
    if(a.x==b.x) return a.id<b.id;
    return a.x<b.x;
}
int main() {
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i].x;
        a[i].id=i;
    }
    stable_sort(a+1,a+1+n,cmp);//先进行一次排序
    while(m--){
        long long op;
        cin>>op;
        if(op==1){//单点修改
            long long x,v;
            cin>>x>>v;
            for(long long i=1;i<=n;i++){
                if(a[i].id==x){
                    a[i].x=v;
                }
            }
            stable_sort(a+1,a+1+n,cmp);
        }
        else{//单点查询
            long long x;
            cin>>x;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(a[i].id==x){
                    cout<<i<<endl;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

Part 2

这次用一个数组b记录a数组中排序后元素的位置.查询复杂度降为$O(1)$.
因为修改时只改动一个元素的值,所以可以遍历一遍数组,用冒泡法找到合适的位置.修改复杂度降为$O(n)$.

AC记录

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,q;
struct node{
    int id,val;
}a[8005];
int b[8005];
bool cmp(node x,node y){
    if(x.val==y.val) return  x.id<y.id;
    return x.val<y.val;
}
int main(){
    int k,x,v;
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i].val;
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[a[i].id]=i;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        cin>>k;
        if(k==1){
            cin>>x>>v;
            a[b[x]].val=v;
            node xy=a[b[x]];
            for(int i=b[x]+1;i<=n;i++){
                a[i-1]=a[i];
            }
            a[n]=xy;
            for(int i=n;i>1;i--){
                if(cmp(a[i-1],a[i])==0){
                    swap(a[i-1],a[i]);
                }
            }
            for(int i=1;i<=n;i++){
                b[a[i].id]=i;
            }
        }
        else if(k==2){//查询
            cin>>x;
            cout<<b[x]<<endl;
        } 
    }
    return 0;
}