思路

次短路结合路径统计，考虑 Dijkstra 算法。

定义 $dist_0$ 、 $dist_1$ 分别表示最短路、次短路长度， $cnt_0$ 、 $cnt_1$ 分别表示最短路、次短路路径数目。每次从优先队列取出元素时，考虑以下 $4$ 种情况。

首先，考虑出现了比当前最短路长度更小的路径，则上述 $4$ 种元素都需更新。其次，考虑出现了与当前最短路长度相同的路径，则更新最短路数目。再次，考虑出现了比最短路长度大但比次短路长度小的路径，则更新次短路长度、数目。最后，考虑出现了与当前次短路长度相同的路径，则更新最短路数目。

code

#include<bits/stdc++.h>
#include<queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
const int N=1010,M=10010,INF=0x3f3f3f3f;
int T,n,m,s,t;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int dist[2][N],cnt[2][N];
bool st[2][N];
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int dijkstra(int u,int v)
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    memset(st,0,sizeof st);
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    cnt[0][u]=1;
    dist[0][u]=0;
    priority_queue<PIII,vector<PIII>,greater<PIII> > heap;
    heap.push({0,{0,u}});
    while(heap.size())
    {
        PIII tt=heap.top();
        heap.pop();
        PII now=tt.second;
        int ver=now.second,num=now.first,distance=tt.first;
        if(st[num][ver]) continue;
        st[num][ver]=true;
        for(int i=h[ver];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dist[0][j]>distance+w[i])
            {
                dist[1][j]=dist[0][j];
                cnt[1][j]=cnt[0][j];
                heap.push({dist[1][j],{1,j}});
                dist[0][j]=distance+w[i];
                cnt[0][j]=cnt[num][ver];
                heap.push({dist[0][j],{0,j}});
            }
            else if(dist[0][j]==distance+w[i]) cnt[0][j]+=cnt[num][ver];
            else if(dist[1][j]>distance+w[i])
            {
                dist[1][j]=distance+w[i];
                cnt[1][j]=cnt[num][ver];
                heap.push({dist[1][j],{1,j}});
            }
            else if(dist[1][j]==distance+w[i]) cnt[1][j]+=cnt[num][ver];
        }
    }
    if(dist[0][v]+1==dist[1][v]) return cnt[0][v]+cnt[1][v];
    else return cnt[0][v];
}
int main()
{
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        memset(h,-1,sizeof h);
        idx=0;
        while(m--)
        {
            int a,b,c;
            cin>>a>>b>>c;
            add(a,b,c);
        }
        cin>>s>>t;
        cout<<dijkstra(s,t)<<'\n';
    }
    return 0;
}