Hello大家好我是小亦，今天我们来讲Acwing题解的第二篇：01背包问题，适合新手来练练手，话不多说思路给大家qwq:
现在呢让我们详细探讨0-1背包问题的解题思路吧~。这个问题是一个经典的动态规划问题，其目标是在不超过背包容量的情况下，选择物品以最大化背包中物品的总价值。

问题定义
输入：物品数量N，背包容积V，每件物品的体积v[i]和价值w[i]。
输出：在不超过背包容量的情况下，能够装入背包的物品的最大总价值。
动态规划思路
状态定义：

定义dp[i][j]表示考虑前i件物品，当背包容量为j时的最大价值。
状态转移方程：

对于每件物品，我们有两种选择：放入背包或不放入背包。
如果我们不放入第i件物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]。
如果我们放入第i件物品，那么我们需要检查背包容量是否足够，即j >= v[i]。如果足够，dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]。
综合两种情况，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])，其中j >= v[i]。
初始化：

初始化dp[0][j] = 0，因为没有物品时，无论背包容量是多少，价值都是0。
初始化dp[i][0] = 0，因为背包容量为0时，无论有多少物品，价值都是0。
计算顺序：

按照物品的顺序（从1到N）和背包容量的顺序（从1到V）进行计算。
最终结果：

最终结果存储在dp[N][V]中，表示考虑所有物品，背包容量为V时的最大价值。
代码实现
使用一个二维数组（列表的列表）来存储dp[i][j]的值。
遍历每件物品，对于每件物品，遍历所有可能的背包容量，根据状态转移方程更新dp数组。
最后，dp[N][V]即为所求的最大价值。
优化考虑
空间优化：由于dp[i][j]只依赖于dp[i-1][j]和dp[i-1][j-v[i]]，因此可以只使用一个一维数组来存储状态，从而将空间复杂度从O(NV)降低到O(V)。
通过这种方法，我们可以有效地解决0-1背包问题，找到在给定背包容量下能够装入背包的物品的最大总价值。这种方法的时间复杂度为O(NV)，空间复杂度为O(NV)，对于较大的N和V，可以考虑进一步优化以提高效率，这也就能求出这道题的最思路了~，好那么好代码给大家吧qwq

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> v(N), w(N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    vector<vector<int>> dp(N+1, vector<int>(V+1, 0));
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= V; j++) {
            if (j < v[i-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]] + w[i-1]);
            }
        }
    }
    cout << dp[N][V] << endl;
    return 0;
}

下面为python写法qwq

def knapsack(N, V, weights, values):
    # 初始化dp数组，所有值设为0
    dp = [[0 for _ in range(V + 1)] for _ in range(N + 1)]

    # 填充dp数组
    for i in range(1, N + 1):
        for w in range(1, V + 1):
            # 如果当前物品的体积大于当前背包容量，不包括当前物品
            if weights[i - 1] > w:
                dp[i][w] = dp[i - 1][w]
            else:
                # 选择当前物品和不选择当前物品的最大价值
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])

    # 返回背包容量为V时的最大价值
    return dp[N][V]

# 输入处理
N, V = map(int, input().split())
weights = []
values = []
for _ in range(N):
    v, w = map(int, input().split())
    weights.append(v)
    values.append(w)

# 计算并输出最大价值
max_value = knapsack(N, V, weights, values)
print(max_value)

下期见~~~~