题目背景

众所周知，对一元二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\Delta = b ^ 2 - 4ac$，则:
  1. 若 $\Delta < 0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$。

例如：

• $x ^ 2 + x + 1 = 0$ 无实数解，因为 $\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$。
• $x ^ 2 - 2x + 1 = 0$ 有两相等实数解 $x _ {1, 2} = 1$。
• $x ^ 2 - 3x + 2 = 0$ 有两互异实数解 $x _ 1 = 1, x _ 2 = 2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd(a, b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd(12, 18) = 6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a, b, c$，其中 $a, b, c$ 均为整数且 $a \neq 0$。你需要判断一元二次方程 $a x ^ 2 + bx + c = 0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q > 0$，$\gcd(p, q) = 1$ 且 $v = \frac pq$。
• 若 $q = 1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；

• 例如：

  • 当 $v = -0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $v = 0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；
2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：
   1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。
3. 否则根据上文公式，$x$ 可以被唯一表示为 $x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r$ 的形式，其中：

   - $q _ 1, q _ 2$ 为有理数，且 $q _ 2 > 0$；
   

   • $r$ 为正整数且 $r > 1$，且不存在正整数 $d > 1$ 使 $d ^ 2 \mid r$（即 $r$ 不应是 $d ^ 2$ 的倍数）；

此时：

1. 若 $q _ 1 \neq 0$，则按有理数的格式输出 $q _ 1$，并再输出一个加号 +；
2. 否则跳过这一步输出；

随后：

1. 若 $q _ 2 = 1$，则输出 sqrt({r})；
2. 否则若 $q _ 2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
3. 否则若 $q _ 3 = \frac 1{q _ 2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
4. 否则可以证明存在唯一整数 $c, d$ 满足 $c, d > 1, \gcd(c, d) = 1$ 且 $q _ 2 = \frac cd$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T, M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a, b, c$。

输出格式

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例输入

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

样例输出

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

【数据范围】

对于所有数据有：$1 \leq T \leq 5000$，$1 \leq M \leq 10 ^ 3$，$|a|,|b|,|c| \leq M$，$a \neq 0$。

其中：

• 特殊性质 A：保证 $b = 0$；
• 特殊性质 B：保证 $c = 0$；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

具体过程

约分

可以看到最终要求输出最简形式，因此约分将会很常用。为此我们可以设计一个 reduce() 函数专门处理约分。

假设需要约分的两个数为x,y
直接枚举 2 到 min(x,y)的所有约数，并不断地将两数除以质因子，直到至少有一个数除不尽。

记得使用引用类型传参，否则爆零。

void reduce(int& x,int& y)
{
    for (int i = 2;i <= x && i <= y;i++)
        while (x % i == 0 && y % i == 0)
        {
            x /= i;
            y /= i;
        }
}

main()

main() 函数才是最难调的。

首先发现 $\Delta$ 非常常用，因此需要提前计算出 $\Delta$ 的值。
然后直接判断。

$\Delta < 0$ 的情况

如果 $\Delta < 0$ 那最好办，直接输出 NO 即可。

$\Delta = 0$ 的情况

如果 $\Delta = 0$ 那也比较简单，判断一下是否为负，未负就打上 bool标签表示为负，然后将两数转换为绝对值；再约一下分，特判一下输出即可。

$\Delta > 0$ 的情况

这个情况棘手一些。

提取平方因子
首先我们需要将
$\Delta$ 的平方因子提取出来单独输出。依然使用一重循环枚举因子并判断即可。

分离有理数和无理数
如果 $\Delta = 1$ 说明原来的 $\Delta$ 为完全平方数，因此最终结果是有理数，采用类似于
$\Delta = 0$ 的情况下的处理方式即可。

否则 $\Delta$ 就是无理数，需要把有理数部分和无理数部分分别输出。依然采用类似于 $\Delta = 0$ 的情况下的处理方式，对着有理部分和无理部分分别跑一次即可。

C++代码

没多少注释，但前面的分析足够了。一道大模拟而已，应该不会看不懂吧

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int t,m,a,b,c,delta,e,f,g,fg,tmpe;
bool negative;
void reduce(int& x,int& y)
{
    for (int i = 2;i <= x && i <= y;i++)
        while (x % i == 0 && y % i == 0)
        {
            x /= i;
            y /= i;
        }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);//提高cin和cout的速度，如果不写的话那最好用scanf和printf
    freopen("uqe.in","r",stdin);
    freopen("uqe.out","w",stdout);//考场要求，调试时可以注释掉，最后的fclose一样
    cin >> t >> m;
    while (t--)
    {
        cin >> a >> b >> c;
        delta = b * b - 4 * a * c;
        negative = false;
        e = 0;
        f = 0;
        g = 0;
        fg = 0;
        tmpe = 0;
        if (delta < 0) cout << "NO";
        else if (delta == 0)
        {
            e = a * 2;
            f = -b;
            if ((e < 0 && f > 0) || (e > 0 && f < 0)) negative = true;
            e = abs(e);
            f = abs(f);
            reduce(e,f);
            if (negative) cout << '-';
            if (f == 0) cout << 0;
            else if (e == 1) cout << f;
            else cout << f << '/' << e;
        }
        else
        {
            e = a * 2;
            f = -b;
            g = 1;
            for (int i = 2;i * i <= delta;i++)
                while (delta % (i * i) == 0)
                {
                    g *= i;
                    delta /= (i * i);
                }
            //有理数
            if (delta == 1)
            {
                if (e > 0) fg = f + g;
                else fg = f - g;
                if ((e < 0 && fg > 0) || (e > 0 && fg < 0)) negative = true;
                e = abs(e);
                fg = abs(fg);
                reduce(e,fg);
                if (negative) cout << '-';
                if (fg == 0) cout << 0;
                else if (e == 1) cout << fg;
                else cout << fg << '/' << e;
            }
            //无理数
            else
            {
                //有理数部分
                tmpe = e;
                if ((tmpe < 0 && f > 0) || (tmpe > 0 && f < 0)) negative = true;
                tmpe = abs(tmpe);
                f = abs(f);
                reduce(tmpe,f);
                if (negative) cout << '-';
                if (f != 0)
                {
                    if (tmpe == 1) cout << f;
                    else cout << f << '/' << tmpe;
                    cout << '+';
                }
                //无理数部分
                e = abs(e);
                g = abs(g);
                reduce(e,g);
                if (g != 1) cout << g << '*';
                cout << "sqrt(" << delta << ')';
                if (e != 1) cout << '/' << e;
            }
        }
        cout << '\n';
    }
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;//华丽结束
}