[//]: # 最长上升子序列

题目描述

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

因为终点不确定，所以这里有两个基本思路：

1.从上往下遍历，最后把最后一层每个点遍历一次，找出最大答案，但是需要考虑边界和负数问题
2.从下往上遍历，这时终点就是输入的起点，直接输出即可

样例

输入样例：
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：
30

做法1

(动态规划) $O(n^2)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=510;
int a[N][N],f[N][N];//这里f[i][j]表示从下一层到f[i][j]所经过的所有不同路径和
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j]; //输入地图 
    for(int i=n;i>=1;i--){//因为起点只有是一个，终点不确定，所以可以从最下层开始
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];//直角三角形，左下角对应[i+1][j+1]
            }
    }
    cout<<f[1][1];//输出答案
    return 0;
}

做法2

(动态规划) $O(n^2)$

因为正序[i-1][j-1]可能超出地图为0，加上地图可能出现负数，所以初始化为负无穷，可以避免

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=510;
int a[N][N],f[N][N],ans=-0x3f3f3f3f;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)//因为下一层遍历时[i-1][j-1]或者[i-1][j]可能会用到上一层，所以j从0-i+1
        for(int j=0;j<=i+1;j++) f[i][j]=ans;//初始化为负无穷，避免下面最大值取到0
    f[1][1]=a[1][1];//第一行单独赋值
    for(int i=2;i<=n;i++){//下面正常遍历
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j];
            }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[n][i]);//找出最大路径到达的终点
    cout<<ans;
    return 0;
}